. При выпуске радиозонда у поверхности Земли давление равнялось
1012,6 гПа, а температура воздуха 24,6 °С. При входе прибора в кучевое
облако отмечено давление 942,4 гПа и температура воздуха 19,4 °С. Какова
высота нижней границы облаков?
Задача решается в рамках школьной физики метеорологии. Будем пользоваться уравнением гидростатики и идеальным газом, и принять линейную зависимость температуры от высоты между поверхностью и нижней границей облаков.
Шаги решения
1) Преобразуем данные в пригодные единицы
- Температура на поверхности: t0 = 24,6°C → T0 = 24,6 + 273,15 = 297,75 K
- Температура на границе облаков: t2 = 19,4°C → T2 = 19,4 + 273,15 = 292,55 K
- Давление на поверхности: p0 = 1012,6 hPa
- Давление на границе облаков: p2 = 942,4 hPa
2) Модель температуры между поверхностью и нижней границей облаков
Пусть температура изменяется линейно: T(z) = T0 + L z, где L — постоянный градиент температуры (K/m, обычно отрицательный).
Поскольку T2 = T0 + L h, высота границы облаков h удовлетворяет:
h = (T2 − T0) / L.
3) Уравнение гидростатики и связь давлений с температурой
Из уравнения гидростатики dp/dz = −ρ g и ρ = p/(R T) получаем:
dp/p = −(g/(R T(z))) dz.
Интегрируем от z = 0 до z = h и от p0 до p2:
ln(p2/p0) = −(g/(R L)) [ln(T0 + L h) − ln(T0)].
Так как T0 + L h = T2, получаем итоговую формулу:
ln(p2/p0) = −(g/(R L)) ln(T2/T0).
Отсюда можно найти L:
L = −(g/R) · ln(T2/T0) / ln(p2/p0).
4) Подстановка чисел
Значения:
- g ≈ 9,81 м/с², R ≈ 287 Дж/(кг·К)
- p2/p0 = 942,4 / 1012,6 ≈ 0,930674 → ln(p2/p0) ≈ −0.07185
- T2/T0 = 292,55 / 297,75 ≈ 0,98254 → ln(T2/T0) ≈ −0.01761
Тогда:
L ≈ −(9,81/287) · (−0,01761) / (−0,07185)
≈ −0,00837 K/m (то есть −8,37 K/km).
5) Высота нижней границы облаков
h = (T2 − T0) / L = (−5,20 K) / (−0,00837 K/m) ≈ 6,22 × 10^2 m.
Ответ
Высота нижней границы облаков примерно 6,2 × 10^2 метров, то есть около 0,62 км.
Примечание: результат получен при предположении линейного профиля температуры между поверхностью и границей облаков и постоянной гравитации. В реальности профиль T(z) может отличаться, но данная модель подходит для учебной задачи.
