На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и К, так что AM: MB = 2:3, BK: KC=4:5. Через середину отрезка МК и вершину В провели прямую. В каком отношении она делит сторону…

Задача решается с помощью координатного метода (аффинная совместимость сохраниет отношения деления отрезков).

1. Пусть A = (0,0), B = (0,1), C = (1,0). Тогда AB вертикальная, AC горизонтальная, и треугольник задан удобно.

2. M на AB с AM:MB = 2:3. Это значит, что AM = 2/5 AB. Поэтому M = A + (2/5)(B − A) = (0, 2/5).

3. K на BC с BK:KC = 4:5. На отрезке BC отношение BK/BC = 4/(4+5) = 4/9. Тогда K = B + (4/9)(C − B) = (0,1) + (4/9)(1−0, 0−1) = (4/9, 5/9).

4. Н — середина MK. N = ((0 + 4/9)/2, (2/5 + 5/9)/2) = (2/9, 43/90).

5. Прямая BN пересекает AC. AC лежит на оси x, поэтому нужно найти точку пересечения BN с y = 0.

Параметризуем BN: B + t(N − B) = (0,1) + t(2/9, 43/90 − 1) = ( (2t)/9, 1 − (47t)/90 ).

При пересечении с AC имеем y = 0: 1 − (47t)/90 = 0 ⇒ t = 90/47.

Тогда x = (2t)/9 = (2/9)·(90/47) = 180/(423) = 20/47.

Значит точка пересечения P на AC имеет координаты P = (20/47, 0).

6. Соотношение деления AC: AP = 20/47, PC = 1 − 20/47 = 27/47. Поэтому AP:PC = 20:27.

Ответ: прямая BN делит сторону AC в отношении 20:27 (от A к C).