В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) с углом 45∘ при вершине B провели высоту CH к боковой стороне и биссектрису угла B , которая пересекла высоту CH в точке K . Найдите длину отрезка BK , если основание треугольника равно 10 .

Решение по шагам. Даны: равнобедренный треугольник ABC с AB = BC, угол при вершине B равен 45°, основание AC = 10. Опущена высота CH к боковой стороне AB, и проведена биссектриса угла B, которая пересекает CH в точке K. Найдем BK. 1) Введение переменных и координатное задание - Пусть AB = BC = b. Разместим треугольник так, чтобы AB лежала на оси x: A = (0, 0), B = (b, 0). Тогда основание AC имеет координаты C = (x, y) с y > 0. - CH — высота из C на AB, значит H = (x, 0) и CH — вертикальная к AB, то есть x-координата точки K и в точке CH будет равна x. 2) Координаты точки C через условие угла B = 45° - vectors: BA = A − B = (−b, 0), BC = C − B = (x − b, y). - Угол между BA и BC при B равен 45°. Косинус этого угла: cos B = (BA · BC) / (|BA||BC|) = [(-b,0)·(x−b,y)] / (b·b) = (b − x)/b. Значит (b − x)/b = cos 45° = 1/√2 ⇒ b − x = b/√2 ⇒ x = b(1 − 1/√2). - Также BC = AB = b даст уравнение (x − b)² + y² = b². Так как b − x = b/√2, получаем y² = b² − (b − x)² = b² − b²/2 = b²/2 ⇒ y = b/√2. Итак C = (x, y) = (b(1 − 1/√2), b/√2). 3) Определение b по основанию AC = 10 AC² = x² + y² = b²[(1 − 1/√2)² + 1/2]. Вычислим (1 − 1/√2)² = 1 − 2/√2 + 1/2 = 3/2 − √2. Тогда AC² = b²[(3/2 − √2) + 1/2] = b²(2 − √2). Так как AC = 10, имеем b²(2 − √2) = 100. Откуда b² = 100/(2 − √2) = 50(2 + √2). 4) Биссектриса угла B - Е1 — единичный вектор вдоль BA: (-1, 0). - Е2 — единичный вектор вдоль BC: (x − b, y)/b. Подстановка x = b(1 − 1/√2), y = b/√2 даёт: x − b = −b/√2, поэтому Е2 = (−1/√2, 1/√2). - Направление биссектрисы BK дано суммой единичных векторов: v = Е1 + Е2 = (−1 − 1/√2, 1/√2). Уравнение прямой BK: проходящая через B = (b, 0) с направлением v = (−(1 + 1/√2), 1/√2). 5) Точка K — пересечение BK с CH - CH имеет уравнение x = x, где x = b(1 − 1/√2). - Параметрическое выражение BK: P(t) = B + t v = (b, 0) + t(−(1 + 1/√2), 1/√2). - По координате x: b − t(1 + 1/√2) = x = b(1 − 1/√2). Решение: t(1 + 1/√2) = b/√2 ⇒ t = b / (√2 + 1). 6) Длина BK - Длина вектора BK равна |t|·||v||. Найдём ||v||: ||v||² = (1 + 1/√2)² + (1/√2)² = (3/2 + √2) + 1/2 = 2 + √2, значит ||v|| = √(2 + √2). - Следовательно BK = t·||v|| = [b/(√2 + 1)] · √(2 + √2). 7) Выражение BK через AC - Из пункта 3: b² = 50(2 + √2). - Тогда BK² = b²(2 + √2) / (√2 + 1)² = [50(2 + √2)](2 + √2)/(3 + 2√2). - Заметим: (2 + √2)² = 6 + 4√2 = 2(3 + 2√2). Поэтому BK² = 50·2 = 100. - Таким образом BK = 10. Ответ: BK = 10.