Прямоугольную трапеции с основанием 4 и 9 вращаются вокруг меньшей боковой стороны. Sбок. полученного тела 169п. Найдите высоту трапеции.

Задача: Прямоугольную трапецию с основанием 4 и 9 вращают вокруг меньшей боковой стороны. S бокового оборотного тела 169π. Найдите высоту трапеции.

Пусть высота трапеции равна h. Так как трапеция прямоугольная, меньшая боковая сторона — это высота h, вокруг неё и совершается вращение.

При вращении вокруг этой стороны образуется усечённая пирамида (конусообразное тело) — конусное усечение (конус с основаниями радиусов 9 и 4). Радиусы оснований усечённого конуса:

• нижнее основание: радиус R1 = 9 (дистанция до правого конца нижнего основания).
• верхнее основание: радиус R2 = 4 (дистанция до правого конца верхнего основания).

Высота усечённого конуса равна h (расстояние между основаниями трапеции и осью вращения).

Обозначим слепной (наклонный) генератор конуса-усечения как l. Для конусовидной поверхности:

• l = sqrt(h^2 + (R1 − R2)^2) = sqrt(h^2 + (9 − 4)^2) = sqrt(h^2 + 25).

Латеральная площадь конусного усечённого тела: S_lat = π (R1 + R2) l = π (9 + 4) l = 13π sqrt(h^2 + 25).

По условию S_lat = 169π. Откуда: 13π sqrt(h^2 + 25) = 169π → sqrt(h^2 + 25) = 169 / 13 = 13.

Следовательно: h^2 + 25 = 169 → h^2 = 144 → h = 12 (поскольку высота положительна).

Ответ: высота трапеции равна 12.