Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А логическое выражение (3y−x>12)∨(2x+6y≥72)∨(x>24)∨(x⋅y

Задача: найти наименьшее неотрицательное A такое, чтобы выражение (3y − x > 12) ∨ (2x + 6y ≥ 72) ∨ (x > 24) ∨ (x·y < A) было истинно для любых неотрицательных целых x и y. 1) Приведём условия, при которых первые три дизъюнкты ложны. - 3y − x > 12 ложь значит 3y − x ≤ 12, т.е. x ≥ 3y − 12. - 2x + 6y ≥ 72 ложь значит 2x + 6y ≤ 71, т.е. x + 3y ≤ 35 (поскольку целые, ≤ 35.5 эквивалентно ≤ 35). - x > 24 ложь значит x ≤ 24. Значит нужно рассмотреть пары x, y (неотрицательные целые) удовлетворяющие: 0 ≤ x ≤ 24, y ≥ 0, x ≥ 3y − 12, x + 3y ≤ 35. Чтобы тождественно сделать выражение истинным, достаточно чтобы для всех таких пар выполнялось x·y < A. Следовательно A должно быть больше максимального значения x·y на этой области. 2)Максимизируем x·y под условиями 0 ≤ x ≤ 24, y ≥ 0, x ≥ 3y − 12, x + 3y ≤ 35. Заметим, что в области максимум произведения достигается на границе x + 3y = 35 (если сумма меньше, можно увеличить y и тем самым увеличить произведение, не выходя за остальные ограничения; а на границе сумма фиксирована). Пусть x = 35 − 3y. Требуется, чтобы при таких x выполнялись ещё x ≤ 24 и x ≥ 3y − 12. - Из x ≤ 24 получаем 35 − 3y ≤ 24 → 3y ≥ 11 → y ≥ 11/3 ⇒ y ≥ 4. - Из x ≥ 3y − 12 получаем 35 − 3y ≥ 3y − 12 → 6y ≤ 47 → y ≤ 47/6 ≈ 7.83 ⇒ y ≤ 7. - Также x ≥ 0 даёт 35 − 3y ≥ 0 → y ≤ 11, что не ограничивает дальше по сравнению с предыдущим. Итак, на границе x + 3y = 35 допустимы целочисленно y ∈ {4, 5, 6, 7}, и соответствующие x равны: - y = 4: x = 35 − 12 = 23, произведение 23·4 = 92 - y = 5: x = 35 − 15 = 20, произведение 20·5 = 100 - y = 6: x = 35 − 18 = 17, произведение 17·6 = 102 - y = 7: x = 35 − 21 = 14, произведение 14·7 = 98 Максимум имеет место при (x, y) = (17, 6) и равен 102. Таким образом M = max{x·y над условием первых трёх ложных} = 102. 3) Вывод по A Чтобы выражение было истинно для всех неотрицательных x,y, нужно, чтобы для всех пар, где первые три условия ложны, выполнялось x·y < A. Так как максимум x·y равен 102, это условие выполняется для всех таких пар, если A ≥ 103. Минимальное possible A равно M + 1 = 103. Ответ: A = 103.