Обозначим через ДЕЛ ( n , m ) ДЕЛ(n,m) утверждение «натуральное число n n делится без остатка на натуральное число m m». Для какого наибольшего натурального числа A A выражение ¬ ДЕЛ ( x , A ) → ( ¬ ДЕЛ ( x , 48 ) ∨ ¬ ДЕЛ ( x , 35 ) ) ¬ДЕЛ(x,A)→(¬ДЕЛ(x,48)∨¬ДЕЛ(x,35)) истинно (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х х?

Задача говорит о ДЕЛ(n,m) как о делимости: ДЕЛ(n,m) означает, что m делится на n? Нет: в математике обычно ДЕЛ(n,m) означает, что m делится на n, т.е. n | x? Здесь принято считать, что выражение ДЕЛ(x,m) означает m | x. Я буду использовать именно такое толкование: ДЕЛ(x,m) эквивалентно m | x. Тогда ¬ДЕЛ(x,m) означает, что m не делится на x. Итак, дано: ¬ДЕЛ(x,A) → (¬ДЕЛ(x,48) ∨ ¬ДЕЛ(x,35)). Пусть P(x) = ¬ДЕЛ(x,A) (то есть A ∤ x), а Q(x) = (¬ДЕЛ(x,48) ∨ ¬ДЕЛ(x,35)) (то есть либо 48 ∤ x, либо 35 ∤ x). 1) Приведём к эквивалентной форме с контрапозитивой: P(x) → Q(x) эквивалентно ¬Q(x) → ¬P(x). ¬Q(x) = ¬(¬ДЕЛ(x,48) ∨ ¬ДЕЛ(x,35)) = (ДЕЛ(x,48) ∧ ДЕЛ(x,35)). ¬P(x) = ¬(¬ДЕЛ(x,A)) = ДЕЛ(x,A). Значит, для любого x имеем условие: Если 48|x и 35|x, тогда A|x. То есть: для всех x из N выполняется (48|x ∧ 35|x) → A|x. 2) Что значит это условие? Набор x, удовлетворяющих 48|x и 35|x, есть все числа, кратные НОК(48,35) = lcm(48,35). Пусть L = lcm(48,35). Тогда для всех k ≥ 1 x = kL. Условие требует, чтобы A|x для всех таких x, т.е. A | (kL) для всех k. Это возможно только если A делит L, потому что общий делитель всех чисел {kL : k ∈ N} должен делиться их наибольшего общего делителя, который и есть L. Следовательно: A должно быть делителем L, и наибольшее возможное A — это A = L. 3) Вычислим L = lcm(48,35). - 48 = 2^4 · 3 - 35 = 5 · 7 LCM = 2^4 · 3 · 5 · 7 = 16 · 105 = 1680. Итак, наибольшее A, при котором данное высказывание истинно для любого натурального x, равно A = 1680. Ответ: A = 1680.