Формулы сокращенного умножения

Отлично. Ниже подробное объяснение формул сокращенного умножения и примеры их применения. Это подходит для общего школьного уровня (средняя школа), без учёта конкретного предмета или класса. 1) Базовые формулы сокращенного умножения - (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 Как получить: умножаем (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2. - (a − b)^2 = a^2 − 2ab + b^2 Как получить: (a − b)(a − b) = a^2 − ab − ab + b^2. - (a + b)(a − b) = a^2 − b^2 Это разность квадратов: сумма и разность дают разность квадратов. - a^2 − b^2 = (a − b)(a + b) Прямой вывод из предыдущей формулы. - a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − ab + b^2) Как получить: умножаем (a + b)(a^2 − ab + b^2) и убеждаемся, что получается a^3 + b^3. - a^3 − b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2) Аналогично, для разности кубов. - (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 Как получить: (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) и перемножаем. - (a − b)^3 = a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3 Аналогично: (a − b)(a^2 − 2ab + b^2). Кратко запомнить: - Младший член через квадрат: квадрат суммы дает 2ab как средний член. - Разность квадратов и разности кубов позволяют быстро разложить на множители или развернуть: - (a + b)(a − b) = a^2 − b^2 - a^3 ± b^3 = (a ± b)(a^2 ∓ ab + b^2) 2) Как применять на практике - Если видите выражение вроде (a + b)^2, сразу применяйте формулу квадрата суммы. - Если видите (a − b)^2 — применяйте квадрат разности. - Если видите произведение (a + b)(a − b) — это разность квадратов: преобразуйте в a^2 − b^2, либо раскройте как произведение. - Если встречается a^3 ± b^3 — попробуйте разложить по формулам суммы или разности кубов. - Для выражения типа (x + 5)^2 разложение даёт простой квадрат суммы: x^2 + 10x + 25. 3) Примеры пошагово Пример 1. Раскройте (3t + 4)^2 - Применяем формулу квадрата суммы: (3t)^2 + 2·(3t)·4 + 4^2 - = 9t^2 + 24t + 16 Пример 2. Разложите на множители: 16x^2 − 9 - Это разность квадратов: (4x)^2 − 3^2 - = (4x − 3)(4x + 3) Пример 3. Разложение суммы кубов: a^3 + b^3, найдём факторизацию 8x^3 + 125 - 8x^3 = (2x)^3, 125 = 5^3, значит a = 2x, b = 5 - Разложение: (2x + 5)((2x)^2 − (2x)·5 + 5^2) - = (2x + 5)(4x^2 − 10x + 25) Пример 4. Раскрытие куба разности: (x − 7)^3 - По формуле: x^3 − 3x^2·7 + 3x·7^2 − 7^3 - = x^3 − 21x^2 + 147x − 343 Пример 5. Раскройте (a + b)(a − b) и дайте результат в виде одного квадрата - = a^2 − b^2 (разность квадратов) 4) Практика: задачи с решениями Задача 1. Раскройте на множители: (5y + 2)^2 - Применяем формулу квадрата суммы: 25y^2 + 2·5y·2 + 4 - = 25y^2 + 20y + 4 Задача 2. Найдите разложение: 49 − 9x^2 - Это разность квадратов: 7^2 − (3x)^2 - = (7 − 3x)(7 + 3x) Задача 3. Разложите на множители: a^3 − b^3 - = (a − b)(a^2 + ab + b^2) Задача 4. Раскройте (2p + 3)^3 - По формуле: (2p)^3 + 3(2p)^2·3 + 3(2p)·3^2 + 3^3 - = 8p^3 + 36p^2 + 54p + 27 Задача 5. Найдите факторизацию: x^2 − 6x + 9 - Это квадрат полного трапезия: (x − 3)^2 - Также можно увидеть как x^2 − 2·3x + 3^2 Задача 6. Разложите на множители: 27y^3 + 8 - 27y^3 = (3y)^3, 8 = 2^3, значит a = 3y, b = 2 - Формула суммы кубов: (3y + 2)( (3y)^2 − (3y)·2 + 2^2 ) - = (3y + 2)(9y^2 − 6y + 4) 5) Советы и хитрости - Хорошо запоминайте главную идею: квадрат суммы добавляет 2ab, квадрат разности вычитает 2ab; разность квадратов превращает в произведение (а−b)(а+b). - Если выражение содержит степень 2 или 3 и две переменные, скорее всего применимы формулы по кубам или квадратам. - Проверяйте результат: после разложения убедитесь, что получаете исходное выражение при перемножении. - При факторизации часто удобно сначала распознать разность квадратов или сумму/разность кубов, чтобы сразу сократить. Если хочешь, могу подобрать ещё больше примеров под твой уровень или сделать набор задач на твою конкретную практику: с числами, алгебраическими выражениями, или с натуральными/целыми коэффициентами. Скажи, какие задачи тебе удобнее решать, и я адаптирую примеры и решения.