Решение квадратных уравнений через дискриминант

Вот краткий курс по решению квадратных уравнений через дискриминант.

Условие. Любое квадратное уравнение имеет вид a x^2 + b x + c = 0, где a ≠ 0. Дискриминант D определяется как D = b^2 - 4 a c.

Если a = 0, это уже линейное уравнение bx + c = 0 (решаем отдельно).

Решение через дискриминант для a ≠ 0:

• Корни равны x = (-b ± sqrt(D)) / (2a).

Разбор по дискриминанту:

• Если D > 0: два разных действительных корня.
• Если D = 0: один двойной корень x = -b / (2a).
• Если D < 0: два комплексных корня (которые образуют сопряжённую пару): x = (-b ± i sqrt(-D)) / (2a).

Примеры

1. Пример с двумя действительными корнями x^2 - 5x + 6 = 0 a = 1, b = -5, c = 6 D = (-5)^2 - 416 = 25 - 24 = 1 > 0 x = (5 ± sqrt(1)) / (2) ⇒ x1 = (5 - 1)/2 = 2, x2 = (5 + 1)/2 = 3

2. Пример с одним действительным корнем (дискриминант нулю) 2x^2 + 4x + 2 = 0 a = 2, b = 4, c = 2 D = 4^2 - 422 = 16 - 16 = 0 x = (-4) / (4) = -1 Единственный корень: x = -1

3. Пример с комплексными корнями (D < 0) x^2 + x + 1 = 0 a = 1, b = 1, c = 1 D = 1 - 4 = -3 < 0 x = (-1 ± i sqrt(3)) / 2

Особые случаи и замечания

• Если a = 0, решаем bx + c = 0:
  • если b ≠ 0: x = -c / b
  • если b = 0: если c = 0 — любая x решение (тождество); если c ≠ 0 — нет решений.
• При реальных коэффициентах D < 0 корни комплексные; если нужно только вещественные корни, таких корней просто нет.
• Часто полезно замечать, что D = b^2 - 4ac может быть квадратом целого числа, что даёт рациональные корни.

Короткий алгоритм на заметку

1. Убедитесь, что a ≠ 0. Если нет, решайте линейное уравнение.
2. Вычислите D = b^2 - 4ac.
3. По знаку D найдите корни по формуле x = (-b ± sqrt(D)) / (2a).
4. При D < 0 можете записать комплексные корни.

Если хотите, могу подобрать дополнительные задачи на конкретной сложности и пошагово разобрать их. Также могу решить любые ваши примеры по дискриминанту, просто напишите уравнение.