В треугольнике авс проведена медиана вм , точка ф её середина. Прчмая сф пересекает сторону ав в точке к площадь акфм равна 50 найти площадь авс

Задача: В треугольнике AVS проведена медиана VM (M — середина AS). Точка F — середина VM. Прямая SF пересекает сторону AV в точке K. Площадь квадрилa AKFM равна 50. Найти площадь треугольника AVS.

Решение по шагам

1. Введение координат для удобства расчётов

• Пусть A = (0, 0), S = (2, 0). Тогда M — середина AS: M = (1, 0).
• Пусть V = (0, h) (размещаем на оси y для упрощения).
• Тогда треугольник AVS задан вершинами A(0,0), V(0,h), S(2,0).

2. Координаты F

• VM — медиана от V к AS, F — середина VM.
• V = (0, h), M = (1, 0) → F = ((0+1)/2, (h+0)/2) = (1/2, h/2).

3. Нахождение точки K пересечения SF и AV

• Координаты S = (2, 0) и F = (1/2, h/2).
• Уравнение прямой SF: найдём её наклон.
  m_SF = (h/2 - 0) / (1/2 - 2) = (h/2) / (-3/2) = -h/3. Прямая SF: y = (-h/3)(x - 2) = (-h/3)x + 2h/3.
• AV — это вертикальная ось x = 0 (от A к V).
• Тогда точка K = SF ∩ AV имеет координаты x = 0, y = 2h/3. Значит K = (0, 2h/3).

4. Площадь квадрила AKFM Порядок вершин квадрила: A(0,0) → K(0, 2h/3) → F(1/2, h/2) → M(1,0).

По формуле площади многоугольника (число по Шеолейсу):

• Сумма x_i y_{i+1} = 02h/3 + 0h/2 + (1/2)0 + 10 = 0.
• Сумма y_i x_{i+1} = 00 + (2h/3)(1/2) + (h/2)1 + 00 = h/3 + h/2 = 5h/6.
• Площадь AKFM = 1/2 |(0) - (5h/6)| = 5h/12.

Дано: площадь AKFM = 50. Значит 5h/12 = 50 → h = 120.

5. Площадь треугольника AVS Основание AS = 2, высота от V к AS равна h. Поэтому Площадь AVS = (1/2) * AS * h = (1/2) * 2 * h = h.

С учётом найденного h = 120, имеем: Площадь AVS = 120.

Ответ: 120.