Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону…
Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону phi equals omega t plus fraction numerator beta t squared over denominator 2 end fraction comma где t — время в минутах, ω = 36 градусов/мин— начальная угловая скорость вращения катушки, а β = 2 градусов/мин2 — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время после начала работы лебeдки, если известно, что за это время угол намотки достиг 1792. Ответ выразите в минутах.
Задача сводится к решению уравнения движения с постоянным угловым ускорением.
Дано:
- φ(t) = ω t + (β t^2)/2
- ω = 36 deg/min
- β = 2 deg/min^2
- φ = 1792 deg
- t — время в минутах
Подстановка приводит к квадратному уравнению: (β/2) t^2 + ω t − φ = 0 (2/2) t^2 + 36 t − 1792 = 0 t^2 + 36 t − 1792 = 0
Решение через квадратную формулу: a = 1, b = 36, c = −1792 D = b^2 − 4ac = 36^2 − 4·1·(−1792) = 1296 + 7168 = 8464 √D = 92
t = [−b ± √D] / (2a) = [−36 ± 92] / 2 t1 = (−36 + 92)/2 = 56/2 = 28 t2 = (−36 − 92)/2 = −128/2 = −64 (отрицательное время, physically недопустимо)
Только положительный корень подходит: t = 28 минут.
Проверка: φ(28) = ω t + (β t^2)/2 = 36·28 + (2·28^2)/2 = 1008 + 784 = 1792 deg.
Ответ: 28 минут.
