(х-8)³

Задача: разложить или упростить выражение (x - 8)^3.

Цель: Понять, как получить разложение по степеням x и постоянной.

Способ 1. Формула бинома (a - b)^3

• Формула: (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.
• Здесь a = x, b = 8.
• Подстановка:
  • a^3 = x^3
  • 3a^2b = 3·x^2·8 = 24x^2
  • 3ab^2 = 3·x·8^2 = 3·x·64 = 192x
  • b^3 = 8^3 = 512
• Итого: (x - 8)^3 = x^3 - 24x^2 + 192x - 512.

Способ 2. Поэтапное умножение (доказательство через разведение)

• Сначала возьмём квадрат бинома: (x - 8)^2 = x^2 - 16x + 64.
• Затем умножим на (x - 8): (x^2 - 16x + 64)(x - 8) = x^3 - 16x^2 + 64x - 8x^2 + 128x - 512.
• Собираем подобные члены: x^3 - (16x^2 + 8x^2) + (64x + 128x) - 512 = x^3 - 24x^2 + 192x - 512.
• Получаем тот же результат: (x - 8)^3 = x^3 - 24x^2 + 192x - 512.

Проверка (для понимания)

• Подставим, например, x = 8: (8 - 8)^3 = 0. В выражении: 8^3 - 24·8^2 + 192·8 - 512 = 512 - 1536 + 1536 - 512 = 0. Проверка верна.

Ответ

• (x - 8)^3 = x^3 - 24x^2 + 192x - 512.