Теорема о равнобедренном треугольнике

Задача: теорема о равнобедренном треугольнике Цель: понять, почему в равнобедренном треугольнике равны базовые углы и как обратное утверждение тоже верно. Определение (для напоминания) - Равнобедренный треугольник — треугольник ABC, у которого две стороны равны: AB = AC. Тогда основание — сторона BC, а углы при основаниях — ∠B и ∠C. Основная формулировка теоремы - Теорема 1 (прямая часть): Если AB = AC, то ∠B = ∠C. То есть углы при основании равны. - Теорема 2 (обратная часть): Если ∠B = ∠C, то AB = AC. То есть треугольник равнобедренный по признаку равенства углов. Пошаговые доказательства Доказательство 1. Если AB = AC ⇒ ∠B = ∠C 1) Пусть ABC — треугольник, AB = AC. Проведём из вершины A биссектор угла A: пусть AD — биссектор угла ∠A и D лежит на BC. Тогда ∠BAD = ∠CAD. 2) Рассматриваем треугольники ABD и ACD. У них есть три равных признака: - AB = AC (дано), - ∠BAD = ∠CAD (из-за того, что AD — биссектор), - AD общая сторона для обоих треугольников. Эти три условия обеспечивают congruence треугольников ABD и ACD по признаку SAS. 3) По следствию равного соответствия третей сторон треугольников ABD и ACD получаем ∠ABD = ∠DCA. 4) Так как BD лежит на BC, угол ∠ABD совпадает с углом ∠ABC, а угол ∠DCA совпадает с углом ∠ACB. Следовательно ∠ABC = ∠ACB, то есть ∠B = ∠C. Доказательство 2. Если ∠B = ∠C ⇒ AB = AC (обратная часть) 1) Пусть ∠ABC = ∠ACB. Пусть из вершины A проведём биссектор AD угла ∠A до точки D на BC. Тогда ∠BAD = ∠CAD. 2) Рассматриваем треугольники ABD и ACD. У них есть: - ∠BAD = ∠CAD (AD — биссектор), - ∠ABD = ∠DCA (если ∠ABC = ∠ACB, то угол при B в треугольнике ABD равен углу при C в треугольнике ACD, так как ∠ABD соответствует ∠ABC, а ∠DCA соответствует ∠ACB), - AD общая сторона. Эти три условия дают congruence треугольников ABD и ACD по признаку ASA. 3) По своим соответствующим сторонам треугольники ABD и ACD равны, отсюда AB = AC. Ключевые corollaries (следствия) - В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектора, проведённые из вершины A, совпадают: - Пусть AB = AC. Проведём высоту AH к BC. Тогда треугольники ABH и ACH являются прямоугольными и имеют общую гипотенузу AB = AC и общую leg AH, значит они конгруэнтны. Отсюда BH = HC, и AH — медиана; углы ∠BAH и ∠HAC равны — AH — биссектор угла A. - Прямая запоминаемая формула: равные стороны противоположны равным углам и наоборот. Это помогает быстро решать задачи на базовые углы и стороны. Пример применения - Дано: AB = AC в треугольнике ABC. Найдите отношение углов при основании. Решение: по доказательству доказано, что ∠B = ∠C. следовательно, углы при основании равны, то есть каждый из них равен (180° − ∠A)/2. Практические задания (для закрепления) 1) В треугольнике ABC известно AB = AC. Докажите, что ∠B = ∠C. 2) В треугольнике ABC известно ∠B = ∠C. Докажите, что AB = AC. 3) В равнобедренном треугольнике AB = AC высота AH к BC проведена. Докажите, что BH = HC. 4) В равнобедренном треугольнике найдите, что будет являться высотой и медианной из вершины A. 5) Дайте краткий ответ: если в треугольнике две углы равны, то две стороны, лежащие напротив этих углов, равны. Если хочешь, могу привести решение конкретной задачи с числами или сделать короткий тест на закрепление материала.