В треугольнике АБС АВ больше Вс

Предположим, что в треугольнике ABC дано AB > BC. Нужно доказать, что угол при C больше угла при A, то есть ∠ACB > ∠BAC. Пошаговое решение: - Шаг 1. По условию AB > BC выберем точку D на стороне AB так, чтобы BD = BC. (Такую точку можно выбрать, потому что AB больше BC, значит на отрезке AB есть отрезок BD длиной BC.) - Шаг 2. Так как BD = BC, треугольник BCD равнобедренный, значит ∠BCD = ∠BDC. (Боковые углы в равнобедренном треугольнике равны.) - Шаг 3. Т.к. A, D и B лежат на одной прямой, угол ∠CAB равен углу ∠CAD (AB и AD — одна и та же прямая). - Шаг 4. Угол ∠ACB можно разложить как сумму углов ∠ACD и ∠DCB, потому что луч CD лежит внутри угла ACB: ∠ACB = ∠ACD + ∠DCB. - Шаг 5. Так как ∠BCD = ∠BDC из шага 2 и ∠DCB = ∠BCD, имеем ∠DCB = ∠BDC. - Шаг 6. Рассмотрим треугольник ACD: сумма углов равна 180°, то ∠CAD + ∠ACD + ∠CDA = 180°. - Шаг 7. Прямые BD и AD лежат на одной прямой, следовательно углы ∠CDA и ∠BDC являются дополнительными: ∠CDA = 180° − ∠BDC. - Шаг 8. Выразим ∠CAD через углы треугольника ACD и шага 7: ∠CAD = 180° − (∠ACD + ∠CDA) = 180° − (∠ACD + (180° − ∠BDC)) = ∠BDC − ∠ACD. - Шаг 9. Теперь возьмём разность углов ∠ACB и ∠CAB: ∠ACB − ∠CAB = (∠ACD + ∠DCB) − ∠CAD = (∠ACD + ∠BDC) − (∠BDC − ∠ACD) = 2∠ACD. Поскольку ∠ACD > 0, получаем ∠ACB − ∠CAB > 0. - Вывод: ∠ACB > ∠CAB, то есть угол при C больше угла при A. Дополнительное примечание: - Этот же подход можно рассмотреть как конструктивное доказательство более общего факта: в любом треугольнике большая сторона лежит напротив большего угла. В нашем случае AB > BC приводит к тому, что угол при C больше угла при A.