придумай задачу . С картинкой. с любой фигурой с формулой Пика

Задача по теореме Пика (Pick’s theorem) с иллюстрацией

Описание задачи (с картинкой-описанием)

• На клетчатой плоскости изображён прямоугольник со сторонами параллельными осям координат. Вершины прямоугольника лежат в точках с целочисленными координатами: (0,0), (4,0), (4,3), (0,3).
• По теореме Пика нужно определить площадь фигуры, используя мычление количества узлов на границе B и узлов внутри I.

Картинка (схематическое изображение на клетчатой бумаге)

• Ребро снизу: от (0,0) до (4,0)
• Ребро справа: от (4,0) до (4,3)
• Ребро сверху: от (4,3) до (0,3)
• Ребро слева: от (0,3) до (0,0)

Схематически это можно представить так (решётка 5 точек по x и 4 точки по y; точки — узлы решетки):

• Верхняя граница: (0,3) •— (1,3) •— (2,3) •— (3,3) •— (4,3) •
• Нижняя граница: (0,0) •— (1,0) •— (2,0) •— (3,0) •— (4,0) •
• Левая и правая границы: по точкам (0,1), (0,2) и (4,1), (4,2)

Задача: найдите площадь прямоугольника, применив формулу Пика: A = I + B/2 − 1, где

• I — число внутренних узлов решетки,
• B — число узлов на границе фигуры (включая вершины).

Детальное решение

1. Определяем B (граница)

• Нижняя граница (y = 0) содержит узлы x = 0,1,2,3,4 → 5 узлов.
• Верхняя граница (y = 3) содержит узлы x = 0,1,2,3,4 → 5 узлов.
• Левая граница (x = 0) между вершинами без учёта углов: узлы (0,1) и (0,2) → 2 узла.
• Правая граница (x = 4) между вершинами без учёта углов: узлы (4,1) и (4,2) → 2 узла.

Итого B = 5 + 5 + 2 + 2 = 14 узлов на границе.

2. Определяем I (внутренние узлы)

• Внутренние узлы — все узлы с целочисленными координатами внутри прямоугольника, т. е. x ∈ {1,2,3}, y ∈ {1,2}.
• Их количество: 3 × 2 = 6 узлов.

3. Применяем теорему Пика

• A = I + B/2 − 1 = 6 + 14/2 − 1 = 6 + 7 − 1 = 12.

Ответ

• Площадь прямоугольника равна 12 квадратных единиц.

Пояснения и полезные заметки

• Теорема Пика применима к любой простой многоугольной фигуре, вершины которой лежат на узлах решетки.
• В примере прямоугольник: B легко посчитать по граням, I — по внутренним точкам решетки.
• Если фигура будет сложнее (например, диагональные стороны или не прямоугольник), принцип тот же: подсчитать B и I по изображению, затем применить A = I + B/2 − 1.

Если хочешь, могу привести аналогичную задачу с другой фигурой (например, треугольник или многоугольник с диагональными сторонами) и сделать ASCII-«картинку» под неё, чтобы попрактиковаться в подсчётах B и I.