При подозрении на грипп можно пройти тестирование в поликлинике. Если это действительно грипп, то тест подтверждает его в 97% случаев. Если гриппа нет, то тест выявит отсутствие…
При подозрении на грипп можно пройти тестирование в поликлинике. Если это действительно грипп, то тест подтверждает его в 97% случаев. Если гриппа нет, то тест выявит отсутствие гриппа в среднем в 83% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 25% пациентов, проходящих тестирование. Миша прошёл тестирование на грипп, и результат оказался положительным. Какова вероятность того, что Миша действительно болеет гриппом?
Давай разберём задачу по шагам.
Дано:
- Чувствительность теста (вероятность положительного теста при наличии гриппа): Se = 0.97
- Специфичность теста (вероятность отрицательного теста при отсутствии гриппа): Sp = 0.83
- В среднем тест оказывается положительным у 25% обследуемых: P(Pos) = 0.25
- Нужно найти вероятность, что Миша действительно болеет гриппом, при положительном результате теста: P(F | Pos)
- Обозначим
- F — Миша болен гриппом
- ¬F — Миша не болен гриппом
- p = P(F) — априорная вероятность болезни среди обследованных (плотность по популяции)
- Связь между P(Pos), p, Se и Sp P(Pos) = P(Pos | F) P(F) + P(Pos | ¬F) P(¬F) P(Pos) = Se · p + (1 − Sp) · (1 − p) Где P(Pos | ¬F) = вероятность ложноположительного теста = 1 − Sp = 0.17
Подставим данные и P(Pos) = 0.25: 0.25 = 0.97 p + 0.17 (1 − p) 0.25 = 0.97 p + 0.17 − 0.17 p 0.25 = 0.80 p + 0.17 0.80 p = 0.25 − 0.17 = 0.08 p = 0.08 / 0.80 = 0.10
Значит, априорная вероятность болезни в этой группе тестируемых составляет 10%.
- Вероятность болезни при положительном тесте (по формуле Байеса) P(F | Pos) = [P(Pos | F) P(F)] / [P(Pos | F) P(F) + P(Pos | ¬F) P(¬F)] = [Se · p] / [Se · p + (1 − Sp) · (1 − p)] = [0.97 × 0.10] / [0.97 × 0.10 + 0.17 × 0.90] = 0.097 / (0.097 + 0.153) = 0.097 / 0.250 ≈ 0.388
Ответ: вероятность того, что Миша действительно болеет гриппом, при положительном тесте примерно 38.8% (около 39%).
