пропорции

Здорово! Разберем пропорции на примерах для 6 класса. Цель — понять, как работать с отношениями a/b = c/d и как найти неизвестное.

1. Что такое пропорция и как её решать

• Пропорция — это равенство двух отношений: a/b = c/d, где b и/или d не равны нулю.
• Главная идея: если две дроби равны, то произведения перекрестно равны: a·d = b·c.
• Правило подходит для любого случая, когда нужно найти неизвестное число в одной из позиций.

2. Общий алгоритм решения пропорции

• Шаг 1. Запишите пропорцию в виде a/b = c/d.
• Шаг 2. Выполните перекрестное умножение: a·d = b·c.
• Шаг 3. Найдите неизвестное. Если неизвестное в числителе, разделите нужное произведение на знаменатель; если в знаменателе — аналогично.
• Шаг 4. Проверьте: подставьте найденное значение обратно в пропорцию, убедитесь, что обе стороны равны.
• Важно: при решении помнить, что знаменатели не должны быть 0.

3. Примеры с подробными шагами

Пример 1 Решите пропорцию: 3/4 = x/12

• Шаг 1: a = 3, b = 4, c = x, d = 12.
• Шаг 2: Перекрестно умножаем: 3·12 = 4·x.
• Шаг 3: 36 = 4x, значит x = 9.
• Шаг 4: Проверка: 3/4 = 9/12; 9/12 = 3/4, верно.

Ответ: x = 9.

Пример 2 Решите пропорцию: 5/6 = 15/y

• Шаг 1: a = 5, b = 6, c = 15, d = y.
• Шаг 2: Перекрестно умножаем: 5·y = 6·15.
• Шаг 3: 5y = 90, значит y = 90/5 = 18.
• Шаг 4: Проверка: 5/6 = 15/18; сократим: 15/18 = 5/6, верно.

Ответ: y = 18.

Пример 3 Найдите x: x/7 = 9/21

• Шаг 1: a = x, b = 7, c = 9, d = 21.
• Шаг 2: Перекрестно умножаем: x·21 = 7·9.
• Шаг 3: 21x = 63, значит x = 63/21 = 3.
• Шаг 4: Проверка: 3/7 vs 9/21; 9/21 = 3/7, верно.

Ответ: x = 3.

Пример 4 (сложный случай: неизвестное в знаменателе) Решите пропорцию: 8/5 = a/b, найдите b, если a = 32

• Шаг 1: a = 32, b — искомое.
• Шаг 2: Перекрестно умножаем: 8·b = 5·32.
• Шаг 3: 8b = 160, значит b = 160/8 = 20.
• Шаг 4: Проверка: 8/5 = 32/20; 32/20 = 8/5, верно.

Ответ: b = 20.

4. Словесные задачи (типичные для 6 класса) Задача А Если 4 кг апельсинов стоят 120 рублей, сколько будут стоить 7 кг?

• Сначала найдём цену 1 кг: 120 / 4 = 30 рублей за 1 кг.
• Затем умножим на 7: 30 · 7 = 210 рублей.
• Логика: пропорция 4 кг → 120 руб, 7 кг → x руб: 4·x = 7·120? Здесь удобнее через единичную цену, но результат тот же.

Ответ: 210 рублей.

Задача Б На карте 1 см соответствует 25 км реального расстояния. Если расстояние на карте равно 7 см, каково реальное расстояние?

• Пропорция: 1 см → 25 км, значит 7 см → 7·25 = 175 км.
• Логика через пропорцию: 1/25 = 7/x => x = 7·25/1 = 175.

Ответ: 175 км.

5. Советы и типичные ошибки

• Всегда записывайте пропорцию в виде a/b = c/d, чтобы не перепутать числа.
• При перекрестном умножении не забывайте умножать по всем участкам: a·d и b·c.
• Знаменатели не должны быть равны нулю.
• Если пропорция содержит переменную в числителе или знаменателе, аккуратно выделяйте её: например, x/7 = 9/21 → x = 7·9/21.
• В словах формулируйте задачу как отношение: "насколько одинарная величина соответствует другой" или "сколько раз больше/меньше".

6. Что сделать дальше

• Попробуй решить самостоятельно 2–3 примера. Могу проверить решения и объяснить, если где-то запутаешься.
• Если хочешь — могу дать ещё задачки разного уровня сложности или подобрать примеры по твоему школьному учебнику.

Если хочешь, могу адаптировать примеры под твоё текущее задание или дать дополнительные задачи с шагами.