докажите неравенство k*(2k+5)>5k-1

Задача: доказать неравенство k(2k+5) > 5k - 1.

Пошаговое решение:

1. Раскроем скобки слева: k(2k+5) = 2k^2 + 5k. Тогда неравенство становится 2k^2 + 5k > 5k - 1.

2. Перенесём все члены в одну сторону: 2k^2 + 5k - 5k + 1 > 0 упрощаем: 2k^2 + 1 > 0.

3. Далее заметим, что 2k^2 ≥ 0 для любого действительного k, поэтому: 2k^2 + 1 ≥ 1 > 0. Следовательно неравенство 2k^2 + 1 > 0 выполняется для всех действительных k.

Вывод:

• Неравенство k(2k+5) > 5k - 1 верно для всех действительных k (то есть для всех целых k, если требуется ограничиться целыми числами).

Дополнительная интуиция: можно also записать как 2k^2 > -1, что тоже очевидно верно для всех k, поскольку левая часть неотрицательна. Но приведённый выше путь через 2k^2 + 1 > 0 нагляднее.