Укажите неверные утверждения: А) дважды транспонированная матрица совпадает с исходной В) если А и В – две матрицы одинаковой размерности, то их всегда можно как складывать, так и…
Укажите неверные утверждения: А) дважды транспонированная матрица совпадает с исходной В) если А и В – две матрицы одинаковой размерности, то их всегда можно как складывать, так и умножать С) обратная матрица существует для любой квадратной матрицы D) понятие ранга матрицы вводится для любых матриц Е) матрица называется единичной, если она состоит из одних единиц
Неправильные утверждения: B, C, E. Обоснование ниже.
A) Дважды транспонированная матрица совпадает с исходной
- Верно. Применение операции транспонирования дважды возвращает исходную матрицу: (A^T)^T = A для любой матрицы A любого размера.
- Пример: A = [[1,2,3],[4,5,6]]. A^T = [[1,4],[2,5],[3,6]], A^{TT} = A.
B) если А и В – две матрицы одинаковой размерности, то их всегда можно как складывать, так и умножать
- Неверно. Сложение двух матриц одной размерности возможно всегда (мходим поэлементно).
- Умножение же возможно не для любых матриц одной размерности: AB определено тогда, когда число столбцов A равно числу строк B.
- Пример контрпримера: возьмём A и B размерности 2x3. Их можно сложить, но произведение AB не определено, потому что 3 != 2.
C) обратная матрица существует для любой квадратной матрицы
- Неверно. Обратная матрица существует не для всех квадратных матриц. Она существует только для невидимодной матрицы, т.е. для квадратной матрицы A с det(A) ≠ 0 (или рангом равным размерности).
- Пример: A = [[1,0],[0,0]] — квадратная, но детерминант равен 0, обратной матрицы нет.
D) понятие ранга матрицы вводится для любых матриц
- Верно. Ранг матрицы определён для любых матриц, включая прямоугольные. Это максимальная число линейно независимых строк (или столбцов).
- Пример: для нулевой матрицы ранг = 0; для любой m×n матрицы ранг лежит между 0 и min(m,n).
E) матрица называется единичной, если она состоит из одних единиц
- Неверно. Единичной матрицей называют т. н. единичную или тензорную единичную матрицу: диагональная матрица с единицами на диагонали и нулями вне диагонали. Матрица, состоящая из одних единиц, называется матрицей единиц (или матрицей всех единиц) и не является единичной матрицей.
- Пример: 2x2 единичная матрица I = [[1,0],[0,1]]; матрица J = [[1,1],[1,1]] — это не единичная матрица.
Если хочешь, могу привести дополнительные примеры или разобрать каждую операцию более подробно с конкретными числами.
