-4x²+3x+1<0

Цель: понять решение детально.

Задача: -4x^2 + 3x + 1 < 0

Пошаговое решение

1. Приведём неравенство к удобной форме

• Умножим обе стороны на -1 (и знак неравенства поменяем местами): 4x^2 - 3x - 1 > 0.
• Это стандартная квадратичная неравенство с положительным коэффициентом при x^2.

2. Рассмотрим квадратичное выражение как произведение 4x^2 - 3x - 1 = (4x + 1)(x - 1) Проверка: (4x + 1)(x - 1) = 4x^2 - 4x + x - 1 = 4x^2 - 3x - 1.

3. Решаем неравенство через произведение (4x + 1)(x - 1) > 0

Ключевые точки разрыва: x = -1/4 и x = 1. Эти точки делят числовую ось на интервалы:

• (-∞, -1/4), (-1/4, 1), (1, ∞)

4. Определим знак на каждом интервале

• Для x < -1/4 возьмём x = -1: (4(-1) + 1)(-1 - 1) = (-3)(-2) > 0
• Для -1/4 < x < 1 возьмём x = 0: (1)(-1) = -1 < 0
• Для x > 1 возьмём x = 2: (9)(1) = 9 > 0

Так как неравенство > 0, решение — это те интервалы, где выражение положительно: (-∞, -1/4) ∪ (1, ∞)

5. Проверка и итог

• В точках x = -1/4 и x = 1 исходное неравенство дает 0, а условие строгое (< 0), поэтому эти точки не входят в решение.
• Быстрая проверка: подставим x = -1 (из первого промежутка) в оригинал: -4(1) + (-3) + 1 = -6 < 0 — верно; подставим x = 0 (между корнями): 1 не меньше 0 — неверно; подставим x = 2 (из второго промежутка): -16 + 6 + 1 = -9 < 0 — верно.

Ответ: (-∞, -1/4) ∪ (1, ∞).