Как найти синус и косинус если знаешь тангенс

Задача: как найти синус и косинус, если дан тангенс θ = tan θ. Коротко: зная tan θ = t, можно получить cos θ и sin θ через одну формулу и учесть знак в зависимости от квадранта. 1) Основная идея и формулы - Тангенс: tan θ = sin θ / cos θ = t. - Из identiteta sin^2 θ + cos^2 θ = 1 получаем: sec^2 θ = 1 + tan^2 θ, то есть cos^2 θ = 1 / (1 + t^2). - Значит: cos θ = ± 1 / sqrt(1 + t^2). - Затем sin θ = tan θ * cos θ = t * cos θ, следовательно sin θ = ± t / sqrt(1 + t^2) (с тем же знаком, что и cos). 2) Как выбрать знак - Если знаем квадрант угла θ, выбираем знак cos и знак sin по квадранту: - QI: cos > 0, sin > 0 - QII: cos < 0, sin > 0 - QIII: cos < 0, sin < 0 - QIV: cos > 0, sin < 0 - Без квадранта есть две возможности (периодичность): - (sin, cos) = (t / sqrt(1 + t^2), 1 / sqrt(1 + t^2)) - или (sin, cos) = (-t / sqrt(1 + t^2), -1 / sqrt(1 + t^2)) Это соответствует двумя углами θ и θ + 180° (или π радиан). 3) Примеры - Пример 1: tan θ = 3/4 - cos θ = ± 1 / sqrt(1 + (3/4)^2) = ± 1 / sqrt(1 + 9/16) = ± 1 / sqrt(25/16) = ± 4/5 - sin θ = tan θ * cos θ = (3/4) * cos θ = ± 3/5 (тот же знак, что и cos) - В квадранте I: cos = 4/5, sin = 3/5 - В квадранте III: cos = -4/5, sin = -3/5 - Пример 2: tan θ = -2 - cos θ = ± 1 / sqrt(1 + 4) = ± 1 / sqrt(5) - sin θ = tan θ * cos θ = -2 * cos θ - В квадранте IV (cos > 0): cos = 1/√5, sin = -2/√5 - В квадранте II (cos < 0): cos = -1/√5, sin = 2/√5 4) Быстрый треугольник (альтернатива) Если tan θ задан как отношение y/x (например, tan θ = y/x с целыми y и x): - Тогда можно взять sin θ = y / sqrt(x^2 + y^2), cos θ = x / sqrt(x^2 + y^2), иSign-ы выбрать по квадранту угла (если известно). 5) Важные моменты - Тангенс не задан для угла, где cos θ = 0 (θ = 90° или 270°); тогда tan бесконечно велик. - Если tan θ = 0, то sin θ = 0 и cos θ = ±1 (в зависимости от квадранта: 0° или 180° и т.д.). - Проверка: sin^2 θ + cos^2 θ должно быть равно 1. Если хочешь, могу привести решение под конкретное tan θ и указать квадрант, чтобы показать точные значения синуса и косинуса.