как найти синус и косинус если знаешь тангенс

Задача: как найти синус и косинус, если дан тангенс θ = tan θ.

Коротко: зная tan θ = t, можно получить cos θ и sin θ через одну формулу и учесть знак в зависимости от квадранта.

1. Основная идея и формулы

• Тангенс: tan θ = sin θ / cos θ = t.
• Из identiteta sin^2 θ + cos^2 θ = 1 получаем: sec^2 θ = 1 + tan^2 θ, то есть cos^2 θ = 1 / (1 + t^2).
• Значит: cos θ = ± 1 / sqrt(1 + t^2).
• Затем sin θ = tan θ * cos θ = t * cos θ, следовательно sin θ = ± t / sqrt(1 + t^2) (с тем же знаком, что и cos).

2. Как выбрать знак

• Если знаем квадрант угла θ, выбираем знак cos и знак sin по квадранту:
  • QI: cos > 0, sin > 0
  • QII: cos < 0, sin > 0
  • QIII: cos < 0, sin < 0
  • QIV: cos > 0, sin < 0
• Без квадранта есть две возможности (периодичность):
  • (sin, cos) = (t / sqrt(1 + t^2), 1 / sqrt(1 + t^2))
  • или (sin, cos) = (-t / sqrt(1 + t^2), -1 / sqrt(1 + t^2)) Это соответствует двумя углами θ и θ + 180° (или π радиан).

3. Примеры

• Пример 1: tan θ = 3/4

  • cos θ = ± 1 / sqrt(1 + (3/4)^2) = ± 1 / sqrt(1 + 9/16) = ± 1 / sqrt(25/16) = ± 4/5
  • sin θ = tan θ * cos θ = (3/4) * cos θ = ± 3/5 (тот же знак, что и cos)
  • В квадранте I: cos = 4/5, sin = 3/5
  • В квадранте III: cos = -4/5, sin = -3/5

• Пример 2: tan θ = -2

  • cos θ = ± 1 / sqrt(1 + 4) = ± 1 / sqrt(5)
  • sin θ = tan θ * cos θ = -2 * cos θ
  • В квадранте IV (cos > 0): cos = 1/√5, sin = -2/√5
  • В квадранте II (cos < 0): cos = -1/√5, sin = 2/√5

4. Быстрый треугольник (альтернатива) Если tan θ задан как отношение y/x (например, tan θ = y/x с целыми y и x):

• Тогда можно взять sin θ = y / sqrt(x^2 + y^2), cos θ = x / sqrt(x^2 + y^2), иSign-ы выбрать по квадранту угла (если известно).

5. Важные моменты

• Тангенс не задан для угла, где cos θ = 0 (θ = 90° или 270°); тогда tan бесконечно велик.
• Если tan θ = 0, то sin θ = 0 и cos θ = ±1 (в зависимости от квадранта: 0° или 180° и т.д.).
• Проверка: sin^2 θ + cos^2 θ должно быть равно 1.

Если хочешь, могу привести решение под конкретное tan θ и указать квадрант, чтобы показать точные значения синуса и косинуса.