что такое биссектриса

Класс: Геометрия, 7-й класс. Цель: Понять.

Что такое биссектриса

• Определение

  • Биссектриса угла — это луч, который проходит через вершину угла и делит этот угол на два равных по величине угла.
  • Внутренняя биссектриса делит угол внутри фигуры; внешняя биссектриса — угол между продолжениями сторон за пределами фигуры.

• Свойство-«интуиция»

  • Любая точка на внутренней биссектрисе угла находится на одинаковом расстоянии от двух лучей этого угла (то есть перпендикулярное расстояние до каждого луча равно друг другу).

• В треугольнике (важное для школьной геометрии)

  • В треугольнике ABC биссектриса угла A — это отрезок от вершины A, проходящий к стороне BC и пересекающий её в точке D.
  • Основное следствие (теорема биссектрисы): BD:DC = AB:AC.
  • Это значит, что точка D делит сторону BC в пропорции длин сторон прилегающих к вершине A.
  • Применение формулы: если AB и AC известны и BC задана, то
    • BD = BC * AB / (AB + AC)
    • DC = BC * AC / (AB + AC)

• Пример (числовой)

  • Пусть в треугольнике ABC AB = 5, AC = 7, и BC = 60.
  • Тогда BD:DC = AB:AC = 5:7.
  • BD = 60 * 5 / (5 + 7) = 60 * 5 / 12 = 25
  • DC = 60 - BD = 35
  • То есть точка D на BC разделяет BC на отрезки 25 и 35.

• Как построить биссектрису угла (пошагово, простым способом)

  1. Возьмите вершину угла, обозначим её A, и проведите произвольную дугу радиуса, который пересечёт оба луча угла. Эти пересечения назовём E (на первом луче) и F (на втором луче).
  2. Пусть радиус дуги из шага 1 не слишком велик, чтобы дуги, проведённые с центрами E и F, пересеклись внутри угла. Проведите дуги с центрами E и F одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись в точке G внутри угла.
  3. Пр проведите прямую через вершину A и точку G. Эта прямая AG и будет внутренней биссектрисой угла ∠A.
  • Коротко: A -> (дуга от A к E и F) -> (дуги от E и F пересекаются в G) -> прямая AG.

• Чем ещё полезна биссектриса

  • Любая точка на внутренней биссектрисе угла равнов distance до двух его сторон.
  • В треугольнике у каждой вершины есть своя внутренняя биссектриса, и она всегда попадает в противоположную сторону (на отрезке BC).

• Важное различие

  • Внутренняя биссектриса делит угол внутри треугольника; внешняя биссектриса делит внешний угол (угол между продолжениями сторон). В треугольнике обе биссектрисы существуют и пересекаются в точке, называемой центроидом или инцентроном? На самом деле пересечение всех трёх внутренних биссектрис — это центр вписанной окружности (инцентр).

Итог

• Биссектриса — это делящий угол луч; главный свойство: делит угол на равные части и является локацией точек, равноудалённых от двух его сторон. В треугольнике это ведёт к пропорции BD:DC = AB:AC и позволяет найти точки деления стороны BC на отрезки в указанной пропорции.