найдите сумму первых пятидесяти, 100, н членов последовательности xn если xn = 2n + 3

Задача: найти сумму первых n членов последовательности x_k = 2k + 3, и посчитать для n = 50 и n = 100.

1. Общее выражение для суммы S_n

• S_n = sum_{k=1}^{n} (2k + 3)
• Применим разложение: S_n = 2 sum_{k=1}^{n} k + 3 sum_{k=1}^{n} 1
• Известно: sum_{k=1}^{n} k = n(n+1)/2 и sum_{k=1}^{n} 1 = n
• Подстановка: S_n = 2 * [n(n+1)/2] + 3n = n(n+1) + 3n = n^2 + 4n
• Это можно записать как S_n = n(n+4)

2. Альтернативный подход (для понимания)

• x_1 = 2·1 + 3 = 5, разность d = 2, это арифметическая прогрессия
• Формула суммы первых n членов АП: S_n = n/2 [2a_1 + (n-1)d]
• Подстановка: S_n = n/2 [2·5 + (n-1)·2] = n/2 [10 + 2n - 2] = n(n+4)
• Оба подхода дают одно и то же.

3. Значения для конкретных n

• Для n = 50: S_50 = 50^2 + 4·50 = 2500 + 200 = 2700
• Для n = 100: S_100 = 100^2 + 4·100 = 10000 + 400 = 10400

Ответ:

• Общая формула: S_n = n^2 + 4n (или S_n = n(n+4))
• S_50 = 2700
• S_100 = 10400

Примечание: предполагается, что счет идет с n = 1 (первые n членов x_k). Если бы индекс начинался с другого значения, формула потребовала бы адаптации.