Как решать теорема Вьета

Ниже — понятное объяснение, как работать с теоремой Виета (теоремой Вьета) в задачах по алгебре 8 класса. Я дам и базовую формулу для квадратных уравнений, и как это использовать на практике, а также коротко — про более сложные случаи. Что такое теорема Виета (для квадратных уравнений) - Рассматриваем квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a ≠ 0. - Пусть его корни будут r1 и r2. - Тогда суммы и произведения корней связаны с коэффициентами так: - r1 + r2 = -b / a - r1 · r2 = c / a - Если привести уравнение к моному виду (делить на a): x^2 + (b/a)x + (c/a) = 0, то это та же связь. Как использовать Виета на практике - Шаг 1. Определить S = r1 + r2 и P = r1 r2 по формуле выше. - Шаг 2. Если известно S и P, можно построить «множитель» для корней: t^2 − S t + P = 0. Её корни — r1 и r2. - Затем записать исходное уравнение в виде a(x − r1)(x − r2) = 0 и найти x. - Шаг 3. Если корни целые или простые для подстановки, можно сначала попробовать разложение на множители по формулам: ax^2 + bx + c = a(x − r1)(x − r2). - Шаг 4. Проверить дискриминант D = b^2 − 4ac: - D ≥ 0: есть два реальных корня (или повторяющийся корень при D = 0). - D < 0: корни комплексные, но формула Виета всё равно справедлива (их суммы и произведение дают вещественные значения). Пара примеров Пример 1. Решим x^2 − 5x + 6 = 0 с помощью Виета. - Коэффициенты: a = 1, b = −5, c = 6. - По формулам: r1 + r2 = −b/a = 5, r1 r2 = c/a = 6. - Нужно два числа, которые суммируются в 5 и перемножаются на 6: 2 и 3. - Значит, x^2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0. - Решения: x = 2 или x = 3. Пример 2. Шаг за шагом через Виета и дискриминант: 2x^2 + 4x + 2 = 0. - Сопоставим: a = 2, b = 4, c = 2. - D = b^2 − 4ac = 16 − 16 = 0. - Корни через формулу: x = [−b ± sqrt(D)]/(2a) = [−4 ± 0]/4 = −1. - По Виету: r1 + r2 = −b/a = −2, r1 r2 = c/a = 1. Значит оба корня равны −1 (повторяющийся корень). Уравнение можно записать как 2(x + 1)^2 = 0. Совет по применению Виета - Если видишь две неизвестные корни и знаешь их сумму и произведение, можно быстро подобрать пару чисел, удовлетворяющую условиям, и разложить на множители. - Если подобрать не удаётся, можно сначала найти корни обычным способом (дискриминант или формула) и проверить, что они удовлетворяют связям r1 + r2 и r1 r2. - Для степеней выше квадратичной: для кубического ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 верны: - r1 + r2 + r3 = −b/a - r1 r2 + r1 r3 + r2 r3 = c/a - r1 r2 r3 = −d/a Но в 8-м классе обычно ограничиваются квадратными уравнениями; если нужно, могу объяснить и про кубиc. Короткое задание для закрепления - Задача: решить через Виета квадратное уравнение 3x^2 − 7x + 2 = 0. - Подсказка: S = −(−7)/3 = 7/3, P = 2/3. Найдём два числа, которые дают произведение 2/3 и сумму 7/3. Эти числа — 1/3 и 2. Так что уравнение можно разложить как 3(x − 1/3)(x − 2) = 0, то есть x = 1/3 или x = 2. Если хочешь, могу привести ещё примеры под конкретный твой уровень или дать задание на твой вариант задачи с использованием Виета.