Как решать теорема Вьета

Кратко: теорема Вьета связывает коэффициенты многочлена и его корни. При любом многочлене степени n с ведущим коэффициентом a_n и корнями r1, r2, ..., r_n имеем набор равенств для сумм и произведений корней.

Что именно утверждает теорема Вьета

• Пусть P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, где a_n ≠ 0, и корни P(x) — r1, r2, ..., r_n (могут быть комплексные).
• Тогда:
  • r1 + r2 + ... + r_n = - a_{n-1} / a_n
  • сумма по всем парам корней: ∑{i<j} r_i r_j = a{n-2} / a_n
  • сумма по всем тройкам корней: ∑{i<j<k} r_i r_j r_k = - a{n-3} / a_n
  • и так далее: чередование знаков.
  • произведение всех корней: r1 r2 ... r_n = (-1)^n a_0 / a_n

Как это понять и как решать задачи

• Идея: многочлен можно записать как произведение над корнями: P(x) = a_n (x - r1)(x - r2)...(x - r_n). При раскрытии скобок коэффициенты будут иметь те же значения, что и в исходном многочлене. Сравнивая коэффициенты, получаем вышеуказанные формулы.
• Это удобнее всего запоминать через простые случаи:
  • Моногичный случай (Leading coefficient = 1): P(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0.
  • Тогда сумма корней = - a_{n-1}, сумма парных произведений = a_{n-2}, и т.д., Product корней = (-1)^n a_0.
• Практическое применение:
  • Если дано многочлен и нужно найти сумму корней или произведение корней, используйте формулы напрямую.
  • Если известен один или несколько корней, можно разложить многочлен и затем применить формулы к полученным коэффициентам.

Примеры

Пример 1. Квадратное уравнение P(x) = 6x^2 - 5x + 2.

• a_n = 6, a_{n-1} = -5, a_0 = 2.
• Сумма корней: r1 + r2 = - a_{n-1} / a_n = -(-5)/6 = 5/6.
• Произведение корней: r1 r2 = (-1)^2 a_0 / a_n = 2/6 = 1/3.

Пример 2. Кубическое уравнение P(x) = 3x^3 - 4x^2 + x - 6.

• a_n = 3, a_{n-1} = -4, a_{n-2} = 1, a_0 = -6.
• Сумма корней: r1 + r2 + r3 = - a_{n-1} / a_n = -(-4)/3 = 4/3.
• Сумма парных произведений: r1 r2 + r1 r3 + r2 r3 = a_{n-2} / a_n = 1/3.
• Произведение корней: r1 r2 r3 = (-1)^3 a_0 / a_n = -(-6)/3 = 2.

Пример 3. Сложный пример (для закрепления) P(x) = 4x^4 + 3x^3 - x^2 + 7x - 6.

• a_n = 4, a_{n-1} = 3, a_{n-2} = -1, a_{n-3} = 7, a_0 = -6.
• Сумма корней: r1 + r2 + r3 + r4 = - a_{n-1} / a_n = -3/4.
• Сумма произведений по парам: r1 r2 + r1 r3 + r1 r4 + r2 r3 + r2 r4 + r3 r4 = a_{n-2} / a_n = -1/4.
• Сумма triple-продуктов: r1 r2 r3 + r1 r2 r4 + r1 r3 r4 + r2 r3 r4 = - a_{n-3} / a_n = -7/4.
• Произведение всех корней: r1 r2 r3 r4 = (-1)^4 a_0 / a_n = -6/4 = -3/2.

Как решать задачи на практике

• Шаг 1. Запишите многочлен в стандартном виде и пометьте коэффициенты a_n, a_{n-1}, ..., a_0.
• Шаг 2. Подумайте, какие сведения дано: количество корней, известны ли сами корни, нужно ли найти сумму/произведение корней и т.д.
• Шаг 3. Применяйте формулы Вьета напрямую к нужнымe коэффициентам.
• Шаг 4. Если известно одно (или несколько) значение корня, можно попытаться факторизовать P(x) по (x - r) и изменить степень задачи на меньшую, применяя те же формулы к оставшемуся многочлену.
• Шаг 5. Помните: формулы работают даже если корни комплексные; они записывают объективные симметрические суммы корней.

Если хочешь, могу дать ещё пару упражнений с подробным разбором или помочь проверить конкретное задание по теореме Вьета, которое тебе дали на уроке.