Задача Задача №3577538
А
А
в треугольнике АВС АС =ВС =√149,АВ =20.Найдите tg A
Задача: в треугольнике ABC AC = BC = sqrt(149), AB = 20. Найти tg A.
Пошаговое решение:
- Признание типа треугольника
- AC = BC, значит треугольник равнобедренный по вершине C. База — сторона AB длиной 20.
- Использование закона косинусов (для угла A)
- Обозначим стороны как в стандартной нотации: a = BC (opposite угол A) = sqrt(149), b = CA = sqrt(149), c = AB = 20.
- Закон косинусов: a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A.
- Подставим значения: 149 = 149 + 400 − 2·sqrt(149)·20·cos A.
- Получаем: 2·sqrt(149)·20·cos A = 400 → cos A = 400 / (40√149) = 10/√149.
- Поиск синуса угла A
- sin^2 A = 1 − cos^2 A = 1 − (100/149) = 49/149 → sin A = 7/√149 (положительный, так как угол A острый).
- Нахождение tg A
- tan A = sin A / cos A = (7/√149) / (10/√149) = 7/10.
Ответ: tg A = 7/10.
Дополнительный удобный способ (альтернатива, без закона косинусов):
- Проведём высоту CM к основании AB. Так как AB = 20, AM = MB = 10.
- В треугольнике AMC: гипотенуза — AC = √149, катет AM = 10, значит CM = √(AC^2 − AM^2) = √(149 − 100) = 7.
- Величина tan A в этом прямоугольном треугольнике равна отношению противолежащего катета к прилежащему: tan A = CM/AM = 7/10.
Итак, tan A = 7/10.
