Треугольнике АВС медиана BD в 2 раза меньше стороны АС. Чему равен угол В? Введи в "окошко" числовое значение его градусной меры. Рисунок к задаче со словами дано, решение

Задача: в треугольнике ABC D — середина AC. Медиана BD в 2 раза меньше стороны AC. Найти угол B.

Ключевые соображения:

• D — середина AC, значит AD = DC = AC/2.
• По условию BD = (1/2) AC, поэтому BD = AD = DC = AC/2. В треугольнике ABD стороны AD и BD равны, следовательно углы при A и B в треугольнике ABD равны.

Разбор по шагам (вариант через координаты):

1. Пусть AC лежит на оси x, и выберем удобную шкалу: A = (-L, 0), C = (L, 0) ⇒ AC = 2L, D = (0, 0).
2. Точка B = (x, y) произвольна, но условие BD = (1/2)AC говорит BD = L, поэтому BD = sqrt(x^2 + y^2) = L ⇒ x^2 + y^2 = L^2.
3. Векторы: BA = A - B = (-L - x, -y), BC = C - B = (L - x, -y). Косинус угла B задаётся скалярным произведением: BA · BC = (-L - x)(L - x) + (-y)(-y) = (x^2 + y^2) - L^2.
4. Так как x^2 + y^2 = L^2, то BA · BC = 0. Значит cos(angle B) = 0, следовательно angle B = 90°.

Пояснение по альтернативной форме:

• Формула длины мидианы m_b к стороне b (AC) в треугольнике с такими сторонами даёт: m_b^2 = (AB^2 + BC^2)/2 - (AC^2)/4. Заданное условие m_b = AC/2 даёт AC^2/4 = (AB^2 + BC^2)/2 - AC^2/4 ⇒ AB^2 + BC^2 = AC^2. Это равносильно тому, что угол B — прямой (по теореме Пифагора в треугольнике AB, BC против стороны AC).

Ответ: 90°.

OKошко с ответом: 90