Найдите углы равнобедренного треугольника,если один из его углов равен: а) 40°;б)60°;в)100°

Цель: найти все углы равнобедренного треугольника, если дан один угол равный указанному значению.

Напомним: в равнобедренном треугольнике два угла при основаниях равны. Пусть α — углы при основаниях, β — вершина треугольника. Тогда:

• 2α + β = 180°.
• α > 0, β > 0.

Задача усложняется тем, что дан один угол, который может быть либо основательным (один из α), либо вершиной (β). Разберём оба варианта для каждого случая.

а) дан угол = 40°

• Вариант 1: дан угол является основанием, то есть α = 40°. Тогда β = 180° − 2α = 180° − 80° = 100°. Углы треугольника: 40°, 40°, 100°.
• Вариант 2: дан угол является вершиной, то есть β = 40°. Тогда α = (180° − β)/2 = (180° − 40°)/2 = 140°/2 = 70°. Углы треугольника: 40°, 70°, 70°.

Итак, для a) существует две возможные конфигурации:

• 40°, 40°, 100°
• 40°, 70°, 70°

б) дан угол = 60°

• Если 60° — основание, β = 180° − 2·60° = 60°. Углы: 60°, 60°, 60°.
• Если 60° — вершина, α = (180° − 60°)/2 = 60°. Углы: 60°, 60°, 60°.

Ещё раз: в любом случае получаем равнобедренный треугольник с углами 60°, 60°, 60° (то есть равносторонний).

в) дан угол = 100°

• Вариант 1: 100° является основанием, α = 100°. Но базовый угол в равнобедренном треугольнике не может быть больше 90° (сумма двух оснований была бы более 180°). Такая конфигурация невозможна.
• Вариант 2: 100° является вершиной, β = 100°. Тогда α = (180° − 100°)/2 = 80°/2 = 40°. Углы треугольника: 100°, 40°, 40°.

Итак, для c) единственно допустимая конфигурация:

• 100°, 40°, 40°

Итоговые ответы:

• а) возможны две конфигурации: 40°, 40°, 100° и 40°, 70°, 70°.
• б) только 60°, 60°, 60° (равносторонний треугольник).
• в) 100°, 40°, 40°.