y = \sin(4x - \frac{\pi}{6}) при x_0 = \frac{\pi}{4}

Задача: y = sin(4x − π/6) при x0 = π/4.

Пошаговое решение (для понимания):

1. Подставим x0 в аргумент функции.

• 4x0 − π/6 = 4·(π/4) − π/6 = π − π/6 = 5π/6.

2. Найдём значение функции в этой точке.

• y(x0) = sin(5π/6) = sin(π − π/6) = sin(π/6) = 1/2.
• Таким образом, y при x = π/4 равно 1/2.

3. (Дополнительно) Найдём производную и наклон касательной.

• dy/dx = 4 cos(4x − π/6).
• Оценим в x0: cos(4x0 − π/6) = cos(5π/6) = cos(π − π/6) = −cos(π/6) = −√3/2.
• Значит, dy/dx|_{x0} = 4 · (−√3/2) = −2√3.

4. Уравнение касательной к графику в точке (x0, y0).

• y − y0 = y'(x0) (x − x0)
• y − 1/2 = (−2√3) (x − π/4)
• y = −2√3 x + (√3 π)/2 + 1/2.

Итого:

• Значение функции в x0: y = 1/2.
• Наклон касательной в x0: dy/dx = −2√3.
• Уравнение касательной: y = −2√3 x + (√3 π)/2 + 1/2.

Дополнительно (для общего понимания): период функции y = sin(4x − π/6) равен T = 2π / частота = 2π / 4 = π/2.