Сгенерируй тест для школьников с учетом следующих параметров: 1. Предмет: вероятность и статистика 2. Тема теста: итоговый тест 3. Класс учеников: 11 4. Типы вопросов в тесте: Открытый вопрос 5. Количество вопросов: 10 6. Выводить ли тест с ответами: Да

Ниже представлен итоговый тест по теме «Вероятность и статистика» для 11 класса. Тип вопросов: открытый вопрос. Всего 10 заданий. Ответы приведены после самих вопросов. 1) Подбрасывают монету 3 раза. Найдите вероятность того, что выпадет ровно два орла. 2) В урне лежат 3 красных, 2 синих и 1 зеленый шар. Вынимают один шар без возврата. Найдите вероятности событий: красный, синий, зеленый. 3) Бросаем стандартный шестигранный кубик. Найдите математическое ожидание и дисперсию значения, выпавшего на грани. 4) Биномиальное распределение: 4 независимых подбрасывания монеты, вероятность орла p = 0.6. Найдите вероятность того, что орлов выпадет ровно три раза. Объясните формулу. 5) Данные: 4, 7, 7, 10, 3, 5, 7. Найдите среднее арифметическое, медиану, моду и диапазон данных. 6) В мешке A два красных и три белых шара, в мешке B один красный и четыре белых шара. Сначала выбирают мешок наугад, затем вытаскивают шар. Найдите вероятность того, что вытянутый шар окажется красным. 7) По данным точкам x и y: (1,2), (2,4), (3,6). Найдите коэффициент корреляции Пирсона между x и y и запишете регрессионную прямую y = a + b x. 8) Объясните разницу между средним арифметическим и медианой. Приведите пример набора данных, где они дают разные значения, и поясните почему. 9) Объясните, что такое центральная предельная теорема на простом примере и зачем она нужна в статистике. 10) Данные выборки: 12, 15, 18, 21, 24. Найдите несмещённую оценку дисперсии выборки (s^2). Ключи к ответам (пример решений) 1) Вероятность ровно двух орлов за три подбрасывания: P(X=2) = C(3,2) (1/2)^3 = 3/8 = 0.375. 2) Вероятности одного вытащенного шарика: P(красный) = 3/6 = 1/2; P(синий) = 2/6 = 1/3; P(зеленый) = 1/6. 3) Кубик: возможные значения 1–6. - Математическое ожидание: E[X] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5. - Дисперсия: Var(X) = ((1-3.5)^2 + ... + (6-3.5)^2)/6 = 35/12 ≈ 2.9167. 4) P(X=3) для n=4, p=0.6: P = C(4,3) p^3 (1-p) = 4 * (0.6)^3 * 0.4 = 4 * 0.216 * 0.4 = 0.3456. 5) Найдём сумму и среднее: сумма = 43, n = 7, среднее = 43/7 ≈ 6.1429. Медиана: отсортировано 3, 4, 5, 7, 7, 7, 10 → медиана = 7. Мода: значение, встречающееся чаще всего — 7 (частота 3 раза). Диапазон: max − min = 10 − 3 = 7. 6) Вероятность красного: P(red) = 0.5*(2/5) + 0.5*(1/5) = 0.5*(0.4 + 0.2) = 0.3. 7) Коэффициент корреляции Пирсона между (x,y): данные lie на прямой y = 2x, из-за чего r = 1 (модуль). Регрессионная прямая: y ≈ 0 + 2x, т.е. a = 0, b = 2. 8) Среднее арифметическое чувствительно к выбросам, медиана — устойчивее к ним. Пример: данные 1, 1, 1, 1, 100. Среднее = 20.8, медиана = 1. Это демонстрирует влияние выброса на среднее. 9) Центральная предельная теорема: при сложении большого числа независимых идентично распределённых величин с конечной дисперсией распределение их суммы стремится к нормальному. Пример: сумма результатов множества бросков монеты приближённо нормальна при большом числе подбрасываний; это позволяет применять нормальное приближение для оценки вероятностей. 10) Выборочная дисперсия s^2 = Σ(x_i − x̄)² /(n−1). Здесь x̄ = (12+15+18+21+24)/5 = 18. Sum квадратов отклонений: (−6)² + (−3)² + 0² + 3² + 6² = 36 + 9 + 0 + 9 + 36 = 90. n−1 = 4. s^2 = 90/4 = 22.5. Если нужно, могу переработать тест под конкретные требования (сложность, формулировки, включение графиков и т. п.).