ПрямаяМ проходит через вершину прямоугольника MNKL и перпендикулярна его сторонам MN и ML. Докажите перпендикулярность плоскостей: FML и MNK.
Решение (пошагово, понятно без лишних формулировок)
Дано: прямоугольник MNKL. Прямая, проходящая через вершину M и перпендикулярная сторонам MN и ML, обозначена как MF (F не лежит в плоскости MNKL).
MF ⟂ MN и MF ⟂ ML, а MN ⟂ ML (это свойства прямоугольника). Следовательно MF перпендикулярна всем линиям, лежащим в плоскости MNKL, то есть MF ⟂ плоскость MNKL.
Плоскость FML содержит две линии: MF (перпендикулярна плоскости MNKL) и ML (лежит в плоскости MNKL). Следовательно плоскость FML перпендикулярна плоскости MNKL.
Плоскость MNK — это часть плоскости MNKL (MNK лежит в плоскости основания MNKL).
Если плоскость A перпендикулярна плоскости B, то она перпендикулярна любой плоскости, лежащей в B (любой подплоскости B). Поскольку FML ⟂ MNKL, а MNK ⊂ MNKL, следует, что FML ⟂ MNK.
Итого: плоскости FML и MNK взаимно перпендикулярны.
Дополнительная иллюстрация (координатный векторный подход, для наглядности):
- Пусть М = (0,0,0), N = (a,0,0), L = (0,b,0), K = (a,b,0). Поскольку MF перпендикулярна MN и ML, возьмём F = (0,0,h).
- Векторные нормали:
- Нормаль к плоскости MNK: MN × MK = (a,0,0) × (a,b,0) = (0,0,ab).
- Нормаль к плоскости FML: MF × ML = (0,0,h) × (0,b,0) = (-hb,0,0).
- Складывается, что эти нормали взаимно перпендикулярны (their scalar product equals 0), значит плоскости MNK и FML перпендикулярны.
Цель достигнута: доказано, что плоскости FML и MNK перпендикулярны.
