Практическая работа №9 Количество часов 2 Тема: Исследование функции на монотонность Цель: закрепить навыки исследование функции на промежутки возрастания и убывания. Задачи: использовать навыки вычисления производных, применять метод интервалов, вычислять координаты точек максимума и минимума. Материально-техническое обеспечение: конспект лекций Формируемы ОК: ОК 1-7, ПК 3.9 Задания: Исследовать функцию на монотонность. Указать промежутки возрастания и убывания А) f (х) = 3-4х Б) f (x) = 3х²- 12х +5 В) f (x) = x3 - 12х Г) f (x) = x3 - 3x2 - 9x + 2 Требования к отчету: решение задач в тетради

Ниже подробные решения для каждой функции с пошаговыми объяснениями по исследованию на монотонность (используем производную и интервалы). Общие методические напутствия: - Для исследования на монотонность ищем производную f'(x). - Точки, где f'(x) = 0 или не существует, делят ось на интервалы. В каждом интервале знаки производной определяют, возрастание или убывание. - Если на границе интервала знак сменяется с положительного на отрицательный, это локальный максимум; если с отрицательного на положительный — локальный минимум. - Для линейной функции производная константа, поэтому функция либо строго возрастает, либо строго убывает на всей области определения; локальных экстремумов нет. A) f(x) = 3 − 4x - Производная: f'(x) = −4. - Знаки производной: всегда отрицателен. - Монотонность: функция строго убывает на всей числовой оси. - Промежутки возрастания: отсутствуют. - Промежутки убывания: (−∞, +∞). - Точки экстремумов: локальных максимумов и минимумов нет (функция линейная). - Примечание: глобально неограничена по значениям, при x→−∞ f(x)→+∞, при x→+∞ f(x)→−∞. B) f(x) = 3x^2 − 12x + 5 - Производная: f'(x) = 6x − 12 = 6(x − 2). - Корень производной: x = 2. - Знаки производной: при x < 2 — отрицательна; при x > 2 — положительна. - Монотонность: - Убывание на (−∞, 2). - Возрастание на (2, ∞). - Точка экстремума: - Локальный минимум в x = 2 (переход от убывания к возрастанию). - Значение: f(2) = 3·4 − 24 + 5 = 12 − 24 + 5 = −7. - Координаты локального минимума: (2, −7). - Локального максимума нет. C) f(x) = x^3 − 12x - Производная: f'(x) = 3x^2 − 12 = 3(x^2 − 4) = 3(x − 2)(x + 2). - Корни производной: x = −2 и x = 2. - Знаки производной по интервалам: - На (−∞, −2): f'(x) > 0 → возрастание. - На (−2, 2): f'(x) < 0 → убывание. - На (2, ∞): f'(x) > 0 → возрастание. - Монотонность: - Возрастание на (−∞, −2) и (2, ∞). - Убывание на (−2, 2). - Точки экстремумов: - Локальный максимум в x = −2 (переход от возрастания к убыванию). - Значение: f(−2) = (−8) − 12(−2) = −8 + 24 = 16. - Координаты локального максимума: (−2, 16). - Локальный минимум в x = 2 (переход от убывания к возрастанию). - Значение: f(2) = 8 − 24 = −16. - Координаты локального минимума: (2, −16). D) f(x) = x^3 − 3x^2 − 9x + 2 - Производная: f'(x) = 3x^2 − 6x − 9 = 3(x^2 − 2x − 3) = 3(x − 3)(x + 1). - Корни производной: x = −1 и x = 3. - Знаки производной по интервалам: - На (−∞, −1): f'(x) > 0 → возрастание. - На (−1, 3): f'(x) < 0 → убывание. - На (3, ∞): f'(x) > 0 → возрастание. - Монотонность: - Возрастание на (−∞, −1) и (3, ∞). - Убывание на (−1, 3). - Точки экстремумов: - Локальный максимум в x = −1 (переход от возрастания к убыванию). - Значение: f(−1) = (−1) − 3(1) − 9(−1) + 2 = −1 − 3 + 9 + 2 = 7. - Координаты локального максимума: (−1, 7). - Локальный минимум в x = 3 (переход от убывания к возрастанию). - Значение: f(3) = 27 − 27 − 27 + 2 = −25. - Координаты локального минимума: (3, −25). Итоги по заданию: - А) f(x) = 3 − 4x: строго убывает на всём ℝ; локальных экстремумов нет. - Б) f(x) = 3x^2 − 12x + 5: убывание на (−∞, 2), возрастание на (2, ∞); локальный минимум в (2, −7). - В) f(x) = x^3 − 12x: возрастание на (−∞, −2) и (2, ∞); убывание на (−2, 2); локальные максимум в (−2, 16) и локальный минимум в (2, −16). - Г) f(x) = x^3 − 3x^2 − 9x + 2: возрастание на (−∞, −1) и (3, ∞); убывание на (−1, 3); локальные максимум в (−1, 7) и локальный минимум в (3, −25). Если нужно, могу оформить это как запись в тетради по шагам с таблицей знаков f'(x) для каждого случая или привести графики, чтобы визуально проверить интервалы monotoneности.