AB=8, n=10, R=?

Задача относится к геометрии: правильный десятиугольник (n = 10) с ребром AB = 8; нужно найти радиус описанной окружности R.

Пояснения по шагам:

1. Обозначим центр окружности O. В треугольнике OAB есть OA = OB = R, AB = AB = s = 8. У треугольника OAB центральный угол AOB равен 2π/n = 2π/10 = π/5 (36°).

2. В этом треугольнике высота опускается на середину AB. Тогда половина основания равна s/2, и в≠триугольнике O–посередине–A есть угол π/n = π/10 (18°). Следовательно: sin(π/n) = (s/2) / R ⇒ s = 2R sin(π/n).

3. Применяем формулу для n = 10: s = 2R sin(π/10) ⇒ R = s / (2 sin(π/10)).

4. Знаем sin(18°) = sin(π/10) = (√5 − 1)/4. Подставим: R = 8 / [2 · ((√5 − 1)/4)] = 8 / ((√5 − 1)/2) = 16/(√5 − 1).

   Рационализируем: R = 16(√5 + 1) / ( (√5 − 1)(√5 + 1) ) = 16(√5 + 1) / (5 − 1) = 4(√5 + 1).

5. Численно: √5 ≈ 2.2360679 → R ≈ 4(2.2360679 + 1) ≈ 4 · 3.2360679 ≈ 12.9443.

Ответ:

• Точное значение: R = 4(√5 + 1).
• Приближённо: R ≈ 12.944.