1. Постройте угол,тангенс равен 1/2 а) разрешается использовать только циркуль и линейку без делений б)разрешается использовать циркуль,линейку без делений и квадратную решетку

Задача: построить угол, тангенс которого равен 1/2.

Зачем: tan α = 1/2 значит, в треугольнике, где один угол прямой, отношение противолежащего катета к соседнему равно 1:2. Мы построим такой угол двумя способами.

Часть a) Разрешено только циркуль и линейка без делений

Пусть AB — произвольный отрезок (основание). Найдём точку C так, чтобы угол ABC удовлетворял tan ∠ABC = 1/2.

Пошагово:

1. Постройте отрезок AB любого длины.
2. Найдите середину M отрезка AB (стройте две окружности радиуса AB с центрами A и B, отметьте их пересечения and соедините пересечение с AB; это и будет M).
3. Постройте через точку A прямую, перпендикулярную AB. Это можно сделать обычной процедурой построения перпендикуляра к данной линии в точке A.
4. На этой перпендикулярной через A линии отложите отрезок AC, равный AM (копированием длины AM: с помощью циркуля отложите на этой линии точку C так, чтобы AC = AM).
5. Соедините точки B и C. Получится треугольник ABC с прямым углом в A: AB ⟂ AC, AB = 2·AC (потому что AM — медиана отрезка AB, AM = AB/2, и AC = AM).
6. В таком треугольнике угол B имеет противолежащий катет AC и соседний катет AB, поэтому tan ∠B = AC/AB = (AB/2)/AB = 1/2.

Итак, угол ∠ABC имеет тангенс 1/2. Значение самого угла примерно α ≈ arctan(1/2) ≈ 26,565°.

Дополнительное пояснение:

• Основная идея: взять прямой треугольник со сторонами, кратными 1 и 2, т.е. выбрать AB = 2×AC. Прямой угол в A обеспечивает, что tan угла при B равен отношению противолежащего катета AC к соседнему AB.

Часть b) Разрешается использовать циркуль, линейку без делений и квадратную решетку (grid)

Здесь можно сделать гораздо проще, используя клетки сетки.

Пошагово:

1. Возьмите точку A на пересечении клеток сетки.
2. По горизонтали отложите отрезок AB длиной в две клетки: возьмите точку B на той же горизонтали так, чтобы AB = 2 клетки.
3. По вертикали отложите от точки A отрезок AC длиной в одну клетку: выберите точку C, находящуюся на той же вертикали, на расстоянии одного шага вверх от A.
4. Соедините точки A–B и B–C (и A–C по желанию для наглядности). Треугольник ABC имеет прямой угол в A (AB горизонтальна, AC вертикальна), а AB = 2·AC.
5. Тогда в треугольнике ABC угол при вершине B имеет tan ∠ABC = противолежащий катет / прилежащий катет = AC/AB = 1/2.

Итого, при использовании сетки мы можем сразу разметить длины 2 и 1 клетку, получить прямой угол в A и получить угол при B с tan = 1/2.

Краткое резюме:

• В варианте без делений на линейке: построите AB произвольной длины, найдите середину M, проведите перпендикуляр через A, отложите AC = AM на эту перпендикулярную линию, соедините B и C. Угол при B будет с tan = 1/2.
• В варианте с квадратной решеткой: выберите A, возьмите B на расстоянии 2 клеток вправо и C на 1 клетку вверх от A, соедините B с A и B с C. Угол при B также имеет tan = 1/2.