В тетраэдре SABC основание ABC – равносторонний треугольник. Грани SAB и SAC – прямоугольные треугольники с прямыми углами при вершине А, точка N – середина BС. Найдите SN, если…
В тетраэдре SABC основание ABC – равносторонний треугольник. Грани SAB и SAC – прямоугольные треугольники с прямыми углами при вершине А, точка N – середина BС. Найдите SN, если AS=√7, AB=2√3.
Задача: в тетраэдре SABC основание ABC — равносторонний треугольник. Грани SAB и SAC прямоугольны в вершине A. N — середина BC. Найти SN, если AS = √7, AB = 2√3.
Пошаговое решение
Из условий ∠SAB = ∠SAC = 90° следует, что SA ⟂ AB и SA ⟂ AC. Так как AB и AC определяют плоскость основания ABC, SA перпендикулярно всей этой плоскости. Значит SA ⟂ плоскость ABC.
Точка N лежит в плоскости ABC (она середина стороны BC). Следовательно, SA перпендикулярно любому вектору, лежащему в этой плоскости, в частности AN. Таким образом треугольник SAN — прямоугольный на A, и по теореме Пифагора SN^2 = SA^2 + AN^2.
Найдем AN. В равностороннем треугольнике ABC сторона AB = BC = CA = s. Здесь s = AB = 2√3. N — середина BC, поэтому AN — высота/медиана к стороне BC. В равностороннем треугольнике высота равна (√3/2)·s. Значит AN = (√3/2)·s = (√3/2)·(2√3) = 3.
Подставим данные: SA^2 = AS^2 = (√7)^2 = 7, AN^2 = 3^2 = 9. SN^2 = 7 + 9 = 16, следовательно SN = 4.
Ответ: SN = 4.
