tgx≥-1, с чертежом

Задача: решить неравенство tan x ≥ -1 (с учетом того, что есть чертеж графика tan x).

Пояснение и решение пошагово

1. Свойства функции tan x

• определена на всех x, кроме x = π/2 + kπ, где есть вертикальные асимптоты.
• имеет период π и на каждом промежутке (−π/2 + kπ, π/2 + kπ) возрастает (монотонна возрастает).

2. Решение на одном периоде Пусть Ik = (−π/2 + kπ, π/2 + kπ). На этом интервале tan x возрастает от −∞ до +∞, поэтому неравенство tan x ≥ -1 эквивалентно x ≥ arctan(-1).

arctan(-1) = -π/4.

Следовательно, в каждом интервале Ik выполняется: x ∈ [−π/4 + kπ, π/2 + kπ).

3. Общее решение Общее решение всех интервалов: x ∈ ∪_{k∈Z} [−π/4 + kπ, π/2 + kπ).

4. Перевод в градусы (для удобства) x ∈ ∪_{k∈Z} [−45° + 180°k, 90° + 180°k).

5. Чертеж (как выглядит график и как найти решение на нём)

• График y = tan x имеет ветви между вертикальными асимптотами x = 90° + 180°k (или x = π/2 + kπ). В каждой такой ветви график возрастает от −∞ слева до +∞ справа.
• Линия y = -1 пересекает каждую ветвь в точке x = -45° + 180°k (потому что tan(-45°) = -1).
• Границы решения: в каждом интервале между асимптотами правая часть ветви удовлетворяет tan x ≥ -1 начиная с точки x = -45° + 180°k и до асимптоты справа. Правая граница не входит, потому что там tan не определён.
• Таким образом решение на чертеже — это участки от x = -45° + 180°k до ближайшей правой асимптоты x = 90° + 180°k, включая левую границу.

Пример на одну ступеньку графика (k = 0):

• Интервал: (-90°, 90°). Решение: [-45°, 90°).
• Левая граница (-45°) включена (tan(-45°) = -1), правая граница (90°) исключается (асимптота).

Ответ

• В радianах: x ∈ ∪_{k∈Z} [−π/4 + kπ, π/2 + kπ).
• В градусах: x ∈ ∪_{k∈Z} [−45° + 180°k, 90° + 180°k).

Если хотите, могу нарисовать упрощённый чертёж или привести конкретные примеры значений x для заданных k.