Условие: Построить графики функций: y=∣x∣−2; y=∣x∣+3x+2.

Ниже подробное решение и пошаговые объяснения для построения графиков двух функций.

1. График y = |x| − 2

• Разбиение на случай по модулю:

  • Если x ≥ 0, то |x| = x, поэтому y = x − 2.
  • Если x < 0, то |x| = −x, поэтому y = −x − 2.

• Параметры графика:

  • Точка вершины: при x = 0 получаем y = −2, поэтому вершина V-образной кривой в (0, −2).
  • Наклоны ветвей: слева от нуля ветвь имеет наклон −1 (y = −x − 2), справа ветвь имеет наклон +1 (y = x − 2).
  • Перехваты:
    • Перехват по оси ординат: y(0) = −2.
    • Перехват по оси абсцисс: решаем |x| − 2 = 0 → |x| = 2, значит x = −2 и x = 2.
  • Область значений: для любого x значение y ≥ −2, т.к. |x| ≥ 0.

• Пример точек:

  • x = 0 → y = −2
  • x = 2 → y = 0
  • x = −2 → y = 0
  • x = 1 → y = −1
  • x = −1 → y = −1

• Кратко о графике:

  • V-образная кривая, вершина в (0, −2), две прямые ветви: левая с slope −1 (направление вниз слева), правая с slope +1 (направление вверх направо).
  • График симметричен относительно оси y (четная функция).

2. График y = |x| + 3x + 2

• Разбиение на случай по модулю:

  • Если x ≥ 0, то |x| = x, поэтому y = x + 3x + 2 = 4x + 2.
  • Если x < 0, то |x| = −x, поэтому y = −x + 3x + 2 = 2x + 2.

• Параметры графика:

  • Вершина/угловой переход в x = 0 (разрыв в производной, не в значении функции): слева и справа от нуля значения сходятся y(0) = 2, так что уголок находится в точке (0, 2).
  • Наклоны ветвей:
    • левая ветвь (x < 0): y = 2x + 2, наклон 2.
    • правая ветвь (x ≥ 0): y = 4x + 2, наклон 4.
  • Перехваты:
    • Перехват по оси ординат: y(0) = 2.
    • Пересечение оси абсцисс: ищем y = 0.
      • Для x ≥ 0: 4x + 2 = 0 → x = −1/2 (но это не подходит, так как x ≥ 0).
      • Для x < 0: 2x + 2 = 0 → x = −1 (подходит). Значит единственный корень: x = −1, т. е. график пересекает ось x в точке (−1, 0).
  • Область значений: при x → +∞, y → +∞; при x → −∞, y → −∞. Значение не ограничено снизу и сверху, т. к. левая ветвь уходит в −∞, правая — в +∞. Значит диапазон R.
  • Пример точек:
    • x = 0: y = 2
    • x = −1: y = 0
    • x = −2: y = −2
    • x = 1: y = 6
    • x = 2: y = 10

• Кратко о графике:

  • V-образная кривая с угловым началом в (0, 2).
  • Левая ветвь идёт вверх слева с наклоном 2 (для x < 0: y = 2x + 2).
  • Правая ветвь идёт вверх справа с более крутым наклоном 4 (для x ≥ 0: y = 4x + 2).
  • Пересечение оси x только в точке (−1, 0).

Полезные подсказки для построения на чертеже:

• Для y = |x| − 2 удобно перенести вершину на (0, −2) и нарисовать две прямые с наклонами ±1.
• Для y = |x| + 3x + 2 сначала нарисовать две части: слева от нуля — прямая 2x + 2, справа от нуля — прямая 4x + 2, соединить их в точке (0, 2). Отметить, что единственный x-пересечение с осью x — в x = −1.

Если нужно, могу привести аккуратный чертёж или проверить точку за точкой по заданному диапазону x. Также могу помочь найти общие точки пересечения между этими графиками.