A 1,a n+1 ​ =a n ​ +1. ​ =1

Задача: дано a_1 = 1 и a_{n+1} = a_n + 1. Найти явное выражение для a_n (для всех n ≥ 1). Решение 1) Понять структуру рекурсии - Разности: a_{n+1} − a_n = 1. Разность константная, значит последовательность линейная (арифметическая прогрессия). 2) Предположение и проверка по шагам - Начальные члены: a_1 = 1. - a_2 = a_1 + 1 = 2 - a_3 = a_2 + 1 = 3 - Можно увидеть, что a_n = n для первых нескольких n. Это тенденция. 3) Формула через индукцию - Формула: a_n = a_1 + (n − 1) · d, где d — шаг разности. Здесь a_1 = 1 и d = 1. значит a_n = 1 + (n − 1) = n. Доказательство по математической индукции - Основание: для n = 1,a_1 = 1 — верно. - Шаг эрмитова: предположим, что для некоторого k ≥ 1 выполняется a_k = k. Тогда a_{k+1} = a_k + 1 = k + 1, что согласуется с формулой для n = k+1. - Следовательно, по индукции a_n = n для всех n ≥ 1. Итог - Явное выражение: a_n = n для всех натуральных n ≥ 1. - Это соответствует тому, что последовательность начинается с 1 и каждый следующий член больше предыдущего на 1.