a 1,a n+1 ​ =a n ​ +1. ​ =1

Задача: дано a_1 = 1 и a_{n+1} = a_n + 1. Найти явное выражение для a_n (для всех n ≥ 1).

Решение

1. Понять структуру рекурсии

• Разности: a_{n+1} − a_n = 1. Разность константная, значит последовательность линейная (арифметическая прогрессия).

2. Предположение и проверка по шагам

• Начальные члены: a_1 = 1.
• a_2 = a_1 + 1 = 2
• a_3 = a_2 + 1 = 3
• Можно увидеть, что a_n = n для первых нескольких n. Это тенденция.

3. Формула через индукцию

• Формула: a_n = a_1 + (n − 1) · d, где d — шаг разности. Здесь a_1 = 1 и d = 1. значит a_n = 1 + (n − 1) = n.

Доказательство по математической индукции

• Основание: для n = 1,a_1 = 1 — верно.
• Шаг эрмитова: предположим, что для некоторого k ≥ 1 выполняется a_k = k. Тогда a_{k+1} = a_k + 1 = k + 1, что согласуется с формулой для n = k+1.
• Следовательно, по индукции a_n = n для всех n ≥ 1.

Итог

• Явное выражение: a_n = n для всех натуральных n ≥ 1.
• Это соответствует тому, что последовательность начинается с 1 и каждый следующий член больше предыдущего на 1.