найти площадь y=2x²+5x+3
Поскольку задача сформулирована как «найти площадь y = 2x^2 + 5x + 3» без указания интервала, наиболее естественная интерпретация в контексте школьной алгебры — площадь области между графиком и осью x на промежутке между точками пересечения графика с осью x (то есть между корнями функции).
- Найдём корни уравнения 2x^2 + 5x + 3 = 0.
- Уравнение можно разложить на множители: 2x^2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1).
- Корни: x1 = -3/2, x2 = -1.
Так как коэффициент при x^2 положительный (a = 2 > 0), парабола открывается вверх. График лежит ниже оси x между корнями и выше оси x за пределами этого отрезка. Следовательно, искомая площадь под графиком и над осью x на промежутке [-3/2, -1] равна интегралу от модуля функции: A = ∫{-3/2}^{-1} |2x^2 + 5x + 3| dx = ∫{-3/2}^{-1} -(2x^2 + 5x + 3) dx, потому что внутри интервала f(x) ≤ 0.
Вычислим интеграл.
- Найдём неопределённый интеграл: ∫(2x^2 + 5x + 3) dx = (2/3)x^3 + (5/2)x^2 + 3x.
- Тогда A = -[ (2/3)x^3 + (5/2)x^2 + 3x ]_{x=-3/2}^{x=-1}.
Вычисления:
- F(-1) = (2/3)(-1)^3 + (5/2)(-1)^2 + 3(-1) = -2/3 + 5/2 - 3 = -7/6.
- F(-3/2) = (2/3)(-3/2)^3 + (5/2)(-3/2)^2 + 3(-3/2) = (2/3)(-27/8) + (5/2)(9/4) - 9/2 = -9/4 + 45/8 - 9/2 = -9/8.
- Разница: F(-1) - F(-3/2) = (-7/6) - (-9/8) = -7/6 + 9/8 = (-28 + 27)/24 = -1/24.
Итак, A = -(-1/24) = 1/24.
Ответ: площадь между графиком y = 2x^2 + 5x + 3 и осью x на промежутке между корнями равна 1/24 (квадратных единиц).
Дополнительно:
- Если вам нужна площадь под графиком на каком-то другом промежутке, обязательно укажите границы интегрирования.
- Если интересует площадь всей области под графиком на всей вещественной оси, то она бесконечна (интеграл по всей оси расходится).
