Задача: в остроугольном равнобедренном треугольнике ABC высоты к боковым сторонам AB и AC пересекаются в точке M. Найдите углы треугольника ABC, если угол BMC = 140°.

Решение задачи для задачки по геометрии (уровень 7, цель — понять): Даны: треугольник ABC остроугольный и равнобедренный (AB = AC). Высоты к боковым сторонам AB и AC пересекаются в точке M (то есть M — ортоцентр треугольника). Известно, что угол BMC = 140°. 1) Обозначим углы треугольника: ∠A = угол при вершине A, ∠B = угол при B, ∠C = угол при C. Так как AB = AC, то углы при основаниях равны: ∠B = ∠C. 2) Связь углов с ортоцентром. Для любого треугольника с ортоцентром H верно, что угол BHC = 180° − ∠A (угол между отрезками HB и HC равен supplementary к углу ∠A). Здесь M играет роль H, поэтому ∠BMC = 180° − ∠A. 3) По условию ∠BMC = 140°. Тогда 140° = 180° − ∠A ⇒ ∠A = 180° − 140° = 40°. 4) Так как треугольник равнобедренный по AB = AC, углы при основании одинаковы: ∠B = ∠C = (180° − ∠A)/2 = (180° − 40°)/2 = 140°/2 = 70°. 5) Итог: углы треугольника ABC равны ∠A = 40°, ∠B = 70°, ∠C = 70°. Проверка: сумма углов 40° + 70° + 70° = 180°, треугольник остроугольный и AB = AC соблюдены.