Ниже решения по каждому пункту с данными и шагами.
1) В треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠A = 30°. Найдите AB и AC.
- Дано: ∠C = 90°, ∠A = 30° (следовательно, ∠B = 60°).
- Решение:
- В прямоугольном треугольнике с углами 30–60–90 стороны пропорциональны: против угла 30° — x, против угла 60° — x√3, гипотенуза — 2x.
- Против угла A = 30° лежит сторона BC, значит BC = x. Тогда
AC = x√3, AB = 2x.
- Следовательно: AB = 2·BC и AC = √3·BC.
- Ответ: AB = 2·BC, AC = √3·BC (если задан BC, подставьте численно).
2) В треугольнике ABC ∠C = 90°, AC = 8 см, AB = 10 см. Найдите BC, cos A и sin A.
- Дано: ∠C = 90°, AC = 8 см, AB = 10 см.
- Решение:
- BC^2 = AB^2 − AC^2 = 10^2 − 8^2 = 100 − 64 = 36 → BC = 6 см.
- cos A = прилежащий к углу A гипотенузе AC/AB = 8/10 = 4/5.
- sin A = противолежащий к углу A BC/AB = 6/10 = 3/5.
- Ответ: BC = 6 см, cos A = 4/5, sin A = 3/5.
3) Найдите катет AC прямоугольного треугольника ABC, если его гипотенуза AB = 14 см, ∠B = 45°.
- Дано: AB = 14 см, ∠B = 45°. Так как гипотенуза AB и один острый угол равен 45°, другой острый угол A тоже 45°, т.е. треугольник имеет углы 45–45–90.
- Решение:
- В таком треугольнике длина каждого катета равна гипотенузе, поделённой на √2: AC = AB/√2 = 14/√2 = 7√2.
- (BC равно той же величине: BC = 7√2.)
- Ответ: AC = 7√2 см.
4) Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, боковая сторона — 13 см. Найдите синус, косинус и тангенс угла при основании.
- Дано: основание b = 10 см, боковая сторона (одна из равнобедренных сторон) l = 13 см.
- Решение:
- высота от вершины к основанию делит основание пополам: половина основания = 5 см.
- По треугольнику образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой 13, прилежащей частью основания 5 и высотой h.
- h = sqrt(13^2 − 5^2) = sqrt(169 − 25) = sqrt(144) = 12.
- Угол при основании имеет противолежащий бок h = 12 и прилежащий к гипотенузе отрезок основания 5.
- sin(угол при основании) = противолежащий / гипотенуза = 12/13.
- cos(угол при основании) = прилежащий / гипотенуза = 5/13.
- tan(угол при основании) = противолежащий / прилежащий = 12/5.
- Ответ: sin = 12/13, cos = 5/13, tan = 12/5.
