Из города А в город Б выехал автобус, а через 2 часа со скоростью 65 км/ч следом за ним выехал автомобиль, догнал автобус в городе К и повернул обратно. Когда автомобиль вернулся…

Задача про автобус и автомобиль. Введём переменные и пройдёмся по шагам.

Пусть:

• AB = 336 км (дано)
• AK = x км ( искомое)
• скорость автомобиля v_c = 65 км/ч
• скорость автобуса v_b — неизвестна

1. В момент встречи

• Автобус проезжает x км за время t_meet: x = v_b · t_meet.
• Автомобиль выехал через 2 часа после автобуса и догнал автобус на месте K, значит прошёл тоже x км за время t_meet − 2: x = 65 · (t_meet − 2).

Из двух равенств получится отношение: t_meet · v_b = 65 · (t_meet − 2). Откуда t_meet = 130 / (65 − v_b).

2. После встречи: вернётся ли автомобиль раньше автобуса? После встречи автомобиль сразу же разворачивается и едет обратно к А на расстоянии x км со скоростью 65 км/ч, то есть время обратно = x / 65. Автобус же после встречи продолжает путь к Б на оставшееся расстояние (336 − x) км со скоростью v_b, время в пути = (336 − x) / v_b.

Условие задачи: когда автомобиль вернулся в А, автобус уже прибыл в Б. Это эквивалентно равенству по времени: время до возвращения автомобиля от начала движения = время, за которое автобус доехал до Б.

Общее время автомобиля с момента отправления автобуса: (t_meet − 2) на тушку до встречи плюс x/65 обратно, но удобнее равенство по абсолютному времени: t_meet + x/65 = t_meet + (336 − x)/v_b. Упрощаем: x/65 = (336 − x)/v_b.

3. Решение системы Из предыдущего уравнения: v_b · x = 65(336 − x) → x(v_b + 65) = 21840 → x = 21840 / (v_b + 65).

Из условия встречи: x = v_b · t_meet и t_meet = 130 / (65 − v_b) ⇒ x = v_b · 130 / (65 − v_b).

Следовательно: 130 v_b / (65 − v_b) = 21840 / (v_b + 65).

Решая квадратное уравнение, получаем v_b = 40 км/ч (отрицательное решение отбросим).

Подставим обратно для x: x = 21840 / (v_b + 65) = 21840 / (40 + 65) = 21840 / 105 = 208 км.

Ответ: расстояние от А до К равно 208 км.

Проверка:

• AK = 208 км, KB = 336 − 208 = 128 км.
• Скорость автобуса 40 км/ч: время А→K = 208/40 = 5.2 ч; далее K→Б = 128/40 = 3.2 ч.
• Автомобиль: А→K за 208/65 ≈ 3.2 ч, затем обратно за 208/65 ≈ 3.2 ч.
• Таким образом, встреча в t = 5.2 ч, возврат автомобиля в А — через 3.2 ч после встречи, т.е. в сумме около 8.4 ч от старта автобуса; автобус же доехал до Б за 5.2 + 3.2 = 8.4 ч. Всё совпадает.

Ответ: 208 км.