острые углы прямоугольного треугольника равны 85 ° и 5 ° найдите угол между высотой и биссектрисой проведёнными из вершины прямого угла.

Ответ: 40°

Пошаговое решение (вариант с координатами, подходящий для средней школы)

• Пусть треугольник ABC прямоугольный в C, углы A и B равны 85° и 5° (неважно, какой из них 85°, какой — 5°).

• Разместим треугольник так, чтобы C был в начале координат, CA лежит по оси x, CB — по оси y. Тогда

  • A = (a, 0),
  • B = (0, b),
  • AB — гипотенуза.

• Высота CH из вершины C на гипотенузу AB имеет направление, перпендикулярное AB. У AB наклон m_AB = (b−0)/(0−a) = −b/a. Следовательно, наклон высоты CH равен m_CH = a/b (перпендикулярно).

• Биссектриса угла C (угол C = 90°) проходит по диагонали 45°, то есть линия CO с направлением по оси, образующей с CA и CB углы по 45°. В таком размещении эта биссектриса совпадает с линией y = x, то есть наклон m_bis = 1.

• Угол между двумя прямыми с наклонами m1 и m2 вычисляется как tan(θ) = |(m2 − m1) / (1 + m1 m2)|. Здесь m1 = m_CH = a/b, m2 = m_bis = 1. Значит tan(θ) = |(1 − a/b) / (1 + a/b)| = |(b − a)/(b + a)|.

• Обозначим k = b/a = tan A (отношение противоположного катета к прилежащему для угла A). Тогда tan(θ) = (k − 1) / (k + 1) = tan(A − 45°), следовательно θ = A − 45° (по мере 0°…90°).

• Поскольку A = 85° или 5° (в любом случае |A − 45°| = 40°), получаем θ = 40°.

Ответ: угол между высотой, проведённой из вершины прямого угла, и биссектрисой, проведённой из той же вершины, равен 40°.