На координатной плоскости даны точки А и прямая l (см. рис.). Определите сумму координат точки, симметричной точке А относительно прямой l.

Не вижу рисунок, поэтому приведу подробный общий метод. Как только дасте координаты A и уравнение прямой l (или саму прямую из рисунка), можно подставить их и получить ответ точно.

Задача: найти точку A' — зеркальное отражение точки A относительно прямой l и затем вычислить сумму координат x' + y' точки A'.

Общие данные

• Пусть A = (x0, y0).
• Прямая l задана в стандартном виде ax + by + c = 0, где a^2 + b^2 ≠ 0.

1. Находим проекцию точки A на прямую l (точку пересечения перпендикуляра к l, которая лежит на l). Воспользуемся формулой для координаты отражения.

2. Формула для зеркального отражения:

• Вычисляем d = (a x0 + b y0 + c) / (a^2 + b^2).
• Координаты отражения A' равны: x' = x0 - 2 a d y' = y0 - 2 b d

3. Сумма координат искомой точки: S = x' + y' = (x0 + y0) - 2 d (a + b), где d как выше.

Краткое объяснение

• d есть signed расстояние от точки A до прямой l, делённое на норму в квадрате: по сути даны коэффициенты линейной формы.
• Убедившись, что A' получен правильно, сумма координат легко вычисляется по формуле выше.

Пример (чтобы увидеть процесс на конкретных числах) Пусть A = (2, 5), l: 3x - 4y + 1 = 0.

• Здесь a = 3, b = -4, c = 1.
• d = (a x0 + b y0 + c) / (a^2 + b^2) = (3*2 + (-4)*5 + 1) / (9 + 16) = (6 - 20 + 1) / 25 = -13/25 = -0.52.
• x' = x0 - 2 a d = 2 - 23(-0.52) = 2 + 3.12 = 5.12.
• y' = y0 - 2 b d = 5 - 2*(-4)*(-0.52) = 5 - 4.16 = 0.84.
• Следовательно A' ≈ (5.12, 0.84), и сумма координат S = x' + y' ≈ 5.12 + 0.84 = 6.00.

Что нужно от вас

• Сообщите координаты точки A (x0, y0) и уравнение прямой l (или запишите прямую в виде ax + by + c = 0). Либо пришлите изображение — я по нему выделю коэффициенты.
• Тогда дам точный численный ответ: координаты A' и их сумма S.