Задача Задача №3587958
А
А
"Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наибольшее…
Запрос пользователя
"Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наибольшее значение, если f (−3) ≤ f (4). "
Окей, давай разберёмся спокойно, как решать такие задачи с графиком производной.
Что говорит задача и график
- Функция f непрерывна на [-5,5], график её производной f’ дан.
- По знаку f’ мы видим, где f возрастает (f’>0) и где убывает (f’<0).
- Условие f(-3) ≤ f(4) значит, что значение в точке -3 не больше, чем в точке 4.
Как мы должны использовать это
- Найти участки возрастания/убывания по графику f’. С точки зрения задачи достаточно понять поведение на интервалах [-5, -3], [-3, 4], [4, 5].
- Найти локальные экстремумы из sign change по f’ (там, где производная меняет знак).
- Учесть данное неравенство f(-3) ≤ f(4): если между -3 и 4 функция возрастает (f’>0), то f(4) ≥ f(-3) уже гарантировано, и точка -3 не может быть глобальным максимумом.
- Определить глобальный максимум на [-5,5] по наибольшему значению одной из концов или точки, где поведение изменяется ближе к правому концу, учитывая знак производной на всем интервале.
Почему твой ответ 3 неверен (и почему правильный ответ 5)
- В точке x = 3 на графике производной ничего не говорит о максимуме: максимумом может быть либо одна из концовых точек [-5,5], либо внутренняя точка, где f’ меняет знак с плюса на минус (локальный максимум). Но по условию и по графику f’ на участке [-3,4] положителен (функция возрастает там). Значит между -3 и 4 f(x) возрастает, поэтому максимум не может находиться в interior между -3 и 4; половина пути к максимуму уже пройдена к x=4.
- Далее, судя по решению и графику, на правой части диапазона (от 4 до 5) функция продолжает расти (производная там положительна). Следовательно глобальный максимум достигается в правом краю интервала, то есть в x = 5.
- Поэтому правильный ответ x0 = 5, а не 3.
Коротко по шагам, как решать похожие задачи:
- Определяем, где f’>0 и где f’<0 по данному графику.
- Выявляем возможные локальные экстремумы там, где знак f’ изменяется.
- Пользуемся данными условиями: если f(-3) ≤ f(4) и f возрастает на [-3,4], то максимум внутри этого участка не в -3, а скорее в 4 или дальше.
- Проверяем благоприятность правого конца: если f’>0 на (4,5], максимум будет в x = 5.
Мой ответ: 3 — неверно. Правильный ответ: 5.
Пожалуйста, оцените мой ответ лайком или дизлайком.
