На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
отмечены точки K
и L
соответственно так, что AK:KB=2:3
, BL:LC=4:5
. Чевианы CK
и AL
пересекаются в точке M
. Найдите отношение площадей четырёхугольника BKML
и треугольника AMC
.
Задача решается в общем виде, используя координатный подход (аффинная инвариантность площадей). Пусть треугольник ABC лежит на простых координатах.
1) Задаём координаты
- Возьмём A = (0, 0), B = (1, 0), C = (0, 1). Тогда площадь треугольника ABC равна 1/2, это удобно для вычислений.
2) Координаты точек K и L
- AK:KB = 2:3 на отрезке AB. Так как AB идёт от (0,0) к (1,0), AK = 2/5 AB. Следовательно K = (2/5, 0).
- BL:LC = 4:5 на отрезке BC. Вектор BC = C - B = (-1, 1). DLогично BL/BC = 4/9, поэтому L = B + (4/9)(C - B) = (1,0) + (4/9)(-1,1) = (5/9, 4/9).
3) Точка M — пересечение CK и AL
- CK: C + s(K - C) = (0,1) + s((2/5,0) - (0,1)) = (2s/5, 1 - s).
- AL: A + t(L - A) = (0,0) + t(5/9, 4/9) = (5t/9, 4t/9).
- При пересечении координаты равны:
2s/5 = 5t/9 и 1 - s = 4t/9.
- Из второго: s = 1 - 4t/9. Подстановка в первое даёт:
(2/5)(1 - 4t/9) = 5t/9 ⇒ 18 - 8t = 25t ⇒ t = 6/11, следовательно s = 1 - (4·6/11)/9 = 1 - 24/99 = 75/99 = 25/33.
- Координаты M: по AL, M = (5t/9, 4t/9) = (5·6/11 / 9, 4·6/11 / 9) = (30/99, 24/99) = (10/33, 8/33).
4) Площадь BKML
Используем формулу площади многоугольника через сомножители крестов:
BKML имеет точки B(1,0), K(2/5,0), M(10/33, 8/33), L(5/9, 4/9) в указанном порядке.
Вычислим сумму S = Σ (x_i y_{i+1} - y_i x_{i+1}):
- B→K: 1·0 − 0·(2/5) = 0
- K→M: (2/5)·(8/33) − 0·(10/33) = 16/165
- M→L: (10/33)·(4/9) − (8/33)·(5/9) = 40/297 − 40/297 = 0
- L→B: (5/9)·0 − (4/9)·1 = −4/9
S = 0 + 16/165 + 0 − 4/9 = 16/165 − 4/9 = −172/495.
Площадь BKML = 1/2 |S| = 172/990 = 86/495.
5) Площадь AMC
- Трое точки A(0,0), M(10/33, 8/33), C(0,1).
- По формуле площади треугольника:
Area AMC = 1/2 | x_A(y_M − y_C) + x_M(y_C − y_A) + x_C(y_A − y_M) |
= 1/2 | 0·(8/33 − 1) + (10/33)·(1 − 0) + 0·(0 − 8/33) |
= 1/2 · (10/33) = 5/33.
6) Отношение площадей BKML и AMC
- [BKML] / [AMC] = (86/495) / (5/33) = (86/495) · (33/5) = 86/75.
Ответ: отношение площадей BKML к AMC равно 86:75 (или 86/75 в виде дроби).
