Задача: ∫ (1/x + 1/√(1 - x^2) + x^4) dx

Пошаговое решение и объяснение

• Разделим интеграл на сумму трёх интегралов: ∫ (1/x) dx + ∫ (1/√(1 - x^2)) dx + ∫ x^4 dx

• Интегралы по частям:

  1. ∫(1/x) dx = ln|x| + C1
  2. ∫(1/√(1 - x^2)) dx = arcsin(x) + C2 (поскольку d/dx arcsin(x) = 1/√(1 - x^2))
  3. ∫ x^4 dx = x^5/5 + C3

• Сложив получим общий антидифференциал: F(x) = ln|x| + arcsin(x) + x^5/5 + C

• Примечание по области определения: Для вещественных значений интегранта требуется |x| < 1 (чтобы √(1 - x^2) был определён и действителен), и x ≠ 0 (чтобы ln|x| была определена). Таким образом вариант антидериватива валиден на интервалах, где 0 < |x| < 1. В рамках этих интервалов производная F'(x) = 1/x + 1/√(1 - x^2) + x^4, что совпадает с под integrandом.

Проверка

• Производная F(x) = d/dx [ln|x| + arcsin(x) + x^5/5] = 1/x + 1/√(1 - x^2) + x^4. Это подтверждает правильность решения.

Пример численного вычисления для конкретного x

• Пусть x = 1/2. Тогда: ln|x| = ln(1/2) = -ln 2, arcsin(1/2) = π/6, (1/2)^5 / 5 = (1/32)/5 = 1/160 = 0.00625. F(1/2) = -ln 2 + π/6 + 1/160 + C.

Код для проверки или вычисления Antiderivative (пример на Python с SymPy)

• Простой вычисление и проверка:

  • Установить SymPy: pip install sympy
  • Код: import sympy as sp x = sp.symbols('x', real=True) F = sp.log(sp.Abs(x)) + sp.asin(x) + x**5/5

    Проверка: производная F должна быть исходным интегралом

    check = sp.simplify(sp.diff(F, x) - (1/x + 1/sp.sqrt(1 - x2) + x4)) print("Проверка на нуль:", check)

    Режим строгой проверки: должно вывести 0

    Вычисление самого интеграла (обобщённый вид):

    I = sp.integrate(1/x + 1/sp.sqrt(1 - x2) + x4, x) print("Антидифференциал:", I)

• Примечание: в вещественном контексте логарифм пишется как ln|x|, что учитывает знак x. SymPy иногда записывает log(x) на области x>0; выражение с Abs(x) даёт корректное вещественное решение на соответствующих интервалах.

Итого

• Основной ответ: ∫ (1/x + 1/√(1 - x^2) + x^4) dx = ln|x| + arcsin(x) + x^5/5 + C, на области 0 < |x| < 1.
• Можно привести пример численно и проверить производную.
• Также приведён простой пример кода на Python для вычисления и проверки. Если нужно, могу адаптировать решение под ваш конкрет класс или уровень (например, более подробные пояснения или другой язык программирования).