Задача: ∫ (1/x + 1/√(1 - x^2) + x^4) dx Пошаговое решение и объяснение - Разделим интеграл на сумму трёх интегралов: ∫ (1/x) dx + ∫ (1/√(1 - x^2)) dx + ∫ x^4 dx - Интегралы по частям: 1) ∫(1/x) dx = ln|x| + C1 2) ∫(1/√(1 - x^2)) dx = arcsin(x) + C2 (поскольку d/dx arcsin(x) = 1/√(1 - x^2)) 3) ∫ x^4 dx = x^5/5 + C3 - Сложив получим общий антидифференциал: F(x) = ln|x| + arcsin(x) + x^5/5 + C - Примечание по области определения: Для вещественных значений интегранта требуется |x| < 1 (чтобы √(1 - x^2) был определён и действителен), и x ≠ 0 (чтобы ln|x| была определена). Таким образом вариант антидериватива валиден на интервалах, где 0 < |x| < 1. В рамках этих интервалов производная F'(x) = 1/x + 1/√(1 - x^2) + x^4, что совпадает с под integrandом. Проверка - Производная F(x) = d/dx [ln|x| + arcsin(x) + x^5/5] = 1/x + 1/√(1 - x^2) + x^4. Это подтверждает правильность решения. Пример численного вычисления для конкретного x - Пусть x = 1/2. Тогда: ln|x| = ln(1/2) = -ln 2, arcsin(1/2) = π/6, (1/2)^5 / 5 = (1/32)/5 = 1/160 = 0.00625. F(1/2) = -ln 2 + π/6 + 1/160 + C. Код для проверки или вычисления Antiderivative (пример на Python с SymPy) - Простой вычисление и проверка: - Установить SymPy: pip install sympy - Код: import sympy as sp x = sp.symbols('x', real=True) F = sp.log(sp.Abs(x)) + sp.asin(x) + x**5/5 # Проверка: производная F должна быть исходным интегралом check = sp.simplify(sp.diff(F, x) - (1/x + 1/sp.sqrt(1 - x**2) + x**4)) print("Проверка на нуль:", check) # Режим строгой проверки: должно вывести 0 # Вычисление самого интеграла (обобщённый вид): I = sp.integrate(1/x + 1/sp.sqrt(1 - x**2) + x**4, x) print("Антидифференциал:", I) - Примечание: в вещественном контексте логарифм пишется как ln|x|, что учитывает знак x. SymPy иногда записывает log(x) на области x>0; выражение с Abs(x) даёт корректное вещественное решение на соответствующих интервалах. Итого - Основной ответ: ∫ (1/x + 1/√(1 - x^2) + x^4) dx = ln|x| + arcsin(x) + x^5/5 + C, на области 0 < |x| < 1. - Можно привести пример численно и проверить производную. - Также приведён простой пример кода на Python для вычисления и проверки. Если нужно, могу адаптировать решение под ваш конкрет класс или уровень (например, более подробные пояснения или другой язык программирования).