В школьной библиотеке на новых стеллажах расставили 432 книги. Известно, что во всех залах библиотеки одинаковое количество стеллажей, на каждом стеллаже одинаковое число полок, а на каждой полке стоит одинаковое количество книг (больше одной). Сколько полок на одном стеллаже, если количество книг на каждой полке в 3 раза меньше числа полок на стеллаже?
Задача требует понять, сколько полок на одном стеллаже, если общее количество книг и условия равенства размещения заданы.
Пояснение и решение по шагам:
1) Обозначения
- Пусть в библиотеке есть H залов.
- В каждом зале по r стеллажей.
- На каждом стеллаже p полок.
- На каждой полке стоит b книг.
- По условию: все стеллажи одинаковые (p одинаково), на каждой полке одинаковое число книг (b одинаково), и b > 1.
- Также дано, что количество книг на полке в 3 раза меньше числа полок на стеллаже: b = p/3.
2) Выражение общего числа книг
Общее число книг равно:
432 = (число залов) × (число стеллажей в зале) × (число полок на стеллаже) × (число книг на полке)
432 = H · r · p · b
Подставим b = p/3:
432 = H · r · p · (p/3) = (H · r) · (p^2 / 3)
Умножим обе стороны на 3:
1296 = (H · r) · p^2
Обозначим N = H · r — общее число стеллажей во всей библиотеке (каждый зал имеет одинаковое число стеллажей, и все залы одинаковы по этому параметру).
Получаем:
p^2 · N = 1296
3) Какие значения p допускаются
from 1296 = 2^4 · 3^4, видно, что p^2 должно делить 1296.
Значит p^2 | 1296, и, следовательно, p — делитель sqrt(1296) = 36, с условием, что p кратно 3 (чтобы b = p/3 было целым) и b > 1 (то есть p > 3).
Возможные значения p:
- p ∈ {6, 9, 12, 18, 36}
4) Что это значит для N = H · r (общее число стеллажей по библиотеке)
Из уравнения 1296 = N · p^2 можно найти N для каждого p:
- p = 6: p^2 = 36 → N = 1296 / 36 = 36
- p = 9: p^2 = 81 → N = 1296 / 81 = 16
- p = 12: p^2 = 144 → N = 1296 / 144 = 9
- p = 18: p^2 = 324 → N = 1296 / 324 = 4
- p = 36: p^2 = 1296 → N = 1296 / 1296 = 1
Замечание:
- Если в библиотеке больше одного зала (что обычно предполагается в словах "во всех залах"), то N ≥ 2. В этом случае исключаем p = 36, потому что N = 1 означает ровно один стеллаж во всей библиотеке.
- Также по условию b = p/3 должно быть больше 1, то есть p ≥ 6, что учтено выше.
5) Ответ
Без дополнительных данных о количестве залов и стеллажей в них задача даёт несколько допустимых значений p. Перечень возможных чисел полок на одном стеллаже:
- С учетом того, что могло быть несколько залов (N ≥ 2): p ∈ {6, 9, 12, 18}
- В общем виде (без допущения о количестве залов): p ∈ {6, 9, 12, 18, 36}
Итог: задача не имеет уникального решения без дополнительной информации о числе залов и числа стеллажей в каждом зале. Возможные варианты числа полок на стеллаже: 6, 9, 12 или 18 (и 36 если в литературе только один зал и один стеллаж).
