Справедливо ли равенстыо: 0,777...=7/9 0,208(3) =5/24

Задача: проверить два утверждения. 1) 0,777... = 7/9 - Пусть x = 0,777... . - Умножим на 10: 10x = 7,777... - Вычтем: 10x − x = 9x = 7 → x = 7/9. - Значит 0,777... действительно равно 7/9. 2) 0,208(3) = 5/24 - Пусть x = 0,208333... (здесь 3 повторяется бесконечно). - Умножим на 1000: 1000x = 208,333... - Вычтем: 1000x − x = 999x = 208,333... − 0,208333... = 208,125. - Значит x = 208,125 / 999. - Преобразуем 208,125: 208,125 = 208 + 1/8 = 1665/8. - Тогда x = (1665/8) / 999 = 1665 / 7992. - Сократим дробь: gcd(1665, 7992) = 333, поэтому x = (1665/333) / (7992/333) = 5/24. - Следовательно 0,208(3) = 5/24. Итого: оба утверждения верны. - 0,777... = 7/9. - 0,208(3) = 5/24.