справедливо ли равенстыо: 0,777...=7/9 0,208(3) =5/24

Задача: проверить два утверждения.

1. 0,777... = 7/9

• Пусть x = 0,777... .
• Умножим на 10: 10x = 7,777...
• Вычтем: 10x − x = 9x = 7 → x = 7/9.
• Значит 0,777... действительно равно 7/9.

2. 0,208(3) = 5/24

• Пусть x = 0,208333... (здесь 3 повторяется бесконечно).
• Умножим на 1000: 1000x = 208,333...
• Вычтем: 1000x − x = 999x = 208,333... − 0,208333... = 208,125.
• Значит x = 208,125 / 999.
• Преобразуем 208,125: 208,125 = 208 + 1/8 = 1665/8.
• Тогда x = (1665/8) / 999 = 1665 / 7992.
• Сократим дробь: gcd(1665, 7992) = 333, поэтому x = (1665/333) / (7992/333) = 5/24.
• Следовательно 0,208(3) = 5/24.

Итого: оба утверждения верны.

• 0,777... = 7/9.
• 0,208(3) = 5/24.