Через середину стороны AB треугольника ABC провели прямую, которая делит его на две части, площади которых равны 1 и 11 (рис. 1). В каком отношении эта прямая делит сторону BC ?

Задача: Через середину M стороны AB проведена прямая MD, пересекающая сторону BC в точке D. Два образовавшихся участка треугольник MBD и остальная часть треугольника ABC имеют площади 1 и 11. Найдите отношение BD:DC.

Решение

1. Упрощение геометрии через координаты.

• Пусть AB лежит на оси Ox, A = (0, 0), B = (2, 0). Тогда середина AB: M = (1, 0).
• Пусть вершина C имеет координаты C(xC, yC). Площадь треугольника ABC равна S = 1/2 * AB * высота = 1/2 * 2 * yC = yC. Значит S = yC.

2. Площадь треугольника MBD.

• Прямая MB лежит на оси y = 0 и имеет длину MB = расстояние от M до B = 1.
• Точка D лежит на BC и имеет координату yD (y-координата D). Расстояние от точки D до прямой AB равно yD.
• Площадь треугольника MBD = 1/2 * MB * высота = 1/2 * 1 * yD = yD/2.

3. Использование данных задач.

• Общая площадь S треугольника ABC равна 12 (так как две части имеют площади 1 и 11, их сумма — 12). => yC = 12.
• Площадь двух частей равна 1 и 11. Площадь треугольника MBD равна yD/2 и не может быть больше половины высоты yC = 12, то есть не может быть 11. Поэтому площадь треугольника MBD должна быть 1, а другая часть — 11. => yD/2 = 1, следовательно yD = 2.

4. Отношение BD:DC.

• BC идёт от B (y = 0) до C (y = yC = 12). Точка D имеет yD = 2, значит она находится на BC на доле t = yD / yC = 2/12 = 1/6 от B к C.
• Следовательно BD = (1/6) BC, DC = (5/6) BC, и отношение BD:DC = (1/6) : (5/6) = 1:5.

Ответ: прямая делит сторону BC в отношении 1:5 (BD:DC = 1:5).