Да. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с AB = AC = 1 и углом между ними ∠A = 45°. Основание BC обозначим как c.
Шаг 1. Применим теорему косинусов для стороны BC:
c^2 = AB^2 + AC^2 − 2·AB·AC·cos∠A.
Шаг 2. Подставим данные:
c^2 = 1^2 + 1^2 − 2·1·1·cos 45° = 2 − 2 cos 45°.
Из cos 45° = √2/2 получаем:
c^2 = 2 − 2·(√2/2) = 2 − √2.
Шаг 3. Оценим c по неравенству:
Нужно доказать, что c > 1/2. Это равно доказательству, что c^2 > 1/4.
Проверим:
2 − √2 > 1/4
⇔ √2 < 7/4.
Так как √2 ≈ 1.414 < 1.75 = 7/4, неравенство верно. Значит c^2 > 1/4, следовательно c > 1/2.
Дополнение: точное значение основания равно
c = sqrt(2 − √2) ≈ 0.765,
что подтверждает, что основание действительно больше 1/2.
Ответ: да, основание треугольника больше 1/2.
